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19/05/24 08:41
24% 가 줄어든다는 것은 매번 이전 숫자의 76% 가 된다는 건데, 어떤 숫자든 A76 으로 끝나는 숫자의 76% 는 (100A+76)*.76 = 76A+57.76 이고 76A 는 정수일 수밖에 없으니까 맨 끝은 항상 76 가 되는 거네요. 신기하네요!
19/05/24 08:46
엑셀로 하니까
1 0.76 0.5776 0.438976 0.33362176 0.253552538 ==> 여기서 그 규칙이 끝나는데요.
19/05/24 10:10
(수정됨) N자리(N>3일때) 반복되는 경우는 먼저 5^(2^(N-1))의 뒤에서 부터 N자리와 10^N+1에서 그 수를 뺀 수로 이루어 집니다.
19/05/24 12:31
공식은 저렇고 실제로 찾을때에는 n+1자리 찾을때는 일의 자리수가 5인 n자리 수를 제곱하시고 그 값의 뒤에서부터 n+1자리 쓰시면 됩니다. 그리고 남은 하나는 10^(n+1)+1에서 그 수를 뺀 수 쓰시면 됩니다.
19/05/24 12:39
자세한 설명은 5^(2^n)-1=[5^{2^(n-1)}+1]*[5^{2^(n-2)}+1]*......*[5+1]*[5-1]
인데 5=1(mod 4)이므로 앞의 +1로 끝나는 항들은 짝수이지만 4의배수는 아닌 수들이기 때문에 5^(2^n)-1을 소인수 분해하면 2가 n+1번 곱해진 꼴로 나오고 그러면[5^(2^n)]*[5^(2^n)]= [5^(2^n)-1]*[5^(2^n)]+[5^(2^n)]=[10^(n+1)]* c(상수)+ 5^(2^n) 가 되기 때문에 뒤의 n+1자리는 반복되게 됩니다.
19/05/24 13:13
시뻘건거북 님// 수학적 귀납법을 쓴 쉬운 풀이로는
a=a^2(mod 10^n)이면 a^2-a는 10^n으로 나누어 떨어집니다 이때 a^4-a^2=(a^2-a)(a+1)a이고 이때 a가 끝이 5로 끝나면 (a^2-a)는 10^n의 배수이고, a는 5의 배수이고, a+1은 짝수여서 2의 배수이므로 a^4-a^2은 10^(n+1)로 나누어 떨어지게 됩니다. 그래서 a^2=(a^2)^2(mod 10^(n+1))이 됩니다.
19/05/24 12:57
다섯자리수 엑셀로 찾았어요.
90625 말씀 하신 공식에 예를 들어 다섯자리면 5^(2^(5-2))= 390625 그럼 90625가 맞네요. 100001 - 90625 = 9376 이니까 이것도 맞네요 신기하네 그럼 여섯자리 수로 넘어가면 1000001-90625= 909376 인데 909376^2= 826964709376 이게 또 안맞는데요. 제가 틀린겁니까?
19/05/24 13:30
5 | 6
25 | 76 625 | 376 0625 | 9376 90625 | 09376 890625 | 109376 // 1000001에서 90625가 아니라 890625를 빼야 합니다. 2890625 | 7109376 12890625 | 87109376 212890625 | 787109376 이 순서대로 가시면 될 것 같네요. automorphic numbers라고 아래 사이트에 그 수열이 나열되어 있습니다. https://oeis.org/A003226
19/05/24 11:00
100을 기준으로 계산기로 돌려보니
100 76 57.76 43.8976 33.362176 25.35525376 19.2699928576 14.6551945717 여기서 끝나는 데 아마도 디지트 문제이겠지요?
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