몬티홀 문제는 이제 아주 유명한 문제라서, 대부분 아시는 내용이죠.
하지만 저는 지금까지 그냥 답만 아는정도? 내지는 그냥 대략적인 설명만 아는정도? 였습니다. 굳이 깊게 생각해볼 이유가 없기도 했고, 생각해봤자 머리만 아플거 같아서요. 크크
핑계를 대자면, 고등학교 졸업이후 십수년이 넘도록 산수면 몰라도 수학이란걸 접할 일이 거의 없다시피해서 그렇게 되었네요. 심심해서 해본다는 의미가 커서, 이런 글을 적어도 괜찮을지조차 모르겠습니다.
뜬금없게 멍하게 누워있다가 갑자기 이 문제가 떠올라서 조금 더 쉽게 이해해보려고 생각도 해보고 이리저리 찾아보면서 적은 글입니다.

1. 쉽게 이해해보기

몬티홀 문제는 다음과 같은 구조입니다.

1. ABC 세 문이 있고, 한 문은 당첨, 나머지 두 문은 꽝이다.
2. 사회자는 정답문을 알고 있다.
3. 내가 한 문을 고르고, 사회자는 내가 고르지 않은 문 중 꽝을 열어서 보여준다.
4. 이때 내가 문을 바꾸는게 유리한가 그렇지 않은가.


제가 일반적으로 알고 있는 설명은 이렇습니다. 각 문의 정답확률은 1/3이고, 당연히 내가 고른문의 정답확률도 1/3이다. 따라서 내가 고르지 않은 두 문의 정답 확률은 2/3이고, 사회자가 두 문중 하나가 꽝임을 확인시켜줬다면 남은 한 문은 2/3의 확률을 가진다.
매우 간단한 설명이지만, 위에 적은 구조의 2,3번이 어떤 의미를 가지는지 모른다면 직관적으로 이해하기 어렵습니다. 사회자가 문을 열어준 시점에서 내가 고른문과 내가 고르지 않은 문은 각각 1/2확률을 가진다고 생각하기 쉽죠.
문을 100개라고 생각하면 조금 더 쉽게 이해가 간다는데, 저 개인적으로는 똑같은 이야기인거 같아서 잘 모르겠더라구요.


그래서 이 부분을 조금 더 쉽게 이해할 수 있도록 생각해보았습니다.
내가 A문을 골랐을때, 사회자는 꽝인 문을 열어서 보여줍니다. 그리고나서 바꿀지 물어봅니다. 만약 A문이 정답문이었다면,바꾸면 꽝이됩니다.반대로 A문이 정답문이 아니었다면 바꾸면 정답이 됩니다.

정답문일 경우 -> 안바꾸면 당첨
틀린문일 경우 -> 바꾸면 당첨

다시 말해서 문을 바꾸는게 유리할까?는 질문은 내가 최초로 고른 문이 정답이었을까? 와 같은 질문이 됩니다.
내가 고른문이 정답문이었을 경우는 안바꾸는게 유리하고, 틀린문이라면 바꾸는게 유리하니까요.
당연히 정답문일 확률은 1/3이고, 틀렸을 확률이 2/3이니까 바꾸는게 유리하다는 결론이 나네요.
몬티홀 문제가 왜 문을 바꾸는게 유리한지 이해하는데는 이 정도 설명이면 충분합니다.


2. 조금 더 깊게 생각해보기
이 방법은 어째서 문을 바꾸는게 유리한지를 비교적 알기 쉽게 알려주지만, 사실 완전한 설명은 아닙니다.
이번엔 조금 더 어려운 얘기입니다. 우선 비슷한 다른 문제로 넘어가 볼까요?

https://pgrer.net/?b=10&n=320173

얼마전 유게에 100플이 넘게 달리며 파이어 되었던 문제입니다.

문제만 옮겨적자면, 조커를 뺀 트럼프카드 52장 중 카드 1장을 뽑은 후 어떤 카드인지 확인하지 않고 상자에 넣었다. 그리고 남은 카드를 잘 섞은 후 3장을 뽑았는데 3장 다 다이아였다. 이 때 처음 뽑은 상자안의 카드가 다이아일 확률은 얼마인가?
이 문제와 몬티홀 문제는 기본적으로 비슷하게 생겼습니다.

1. 하나를 선택하고(결과 확인하지 않음)
2. 남은것중 일부를 확인하고
3. 최초 선택한것의 확률은?


몬티홀 문제의 경우, 처음 첫 선택시의 확률 1/3이, 남은것 중 일부를 확인한 후에도 그대로 1/3입니다.(바꾸는게 정답일 확률이 2/3이죠?)
그렇다면 이 문제는 어떨까요? 최초로 52장의 카드중 한 장을 뽑았을때 다이아일 확률은 1/4입니다. 그렇다면 남은것 중 일부(3장)을 확인한 후, 확률도 그대로 1/4일까요?

답은 그렇지 않다입니다. 이 문제의 답은 10/49입니다. 즉 다이아 3장의 카드가 없어진 만큼의 확률이 변했습니다.
몬티홀 문제에 대입해서 생각해 본다면, 꽝문이 하나 없어졌으니까 내가 선택한 문과 남은문의 확률이 각각 1/2이라는 거죠.

어라? 아까 몬티홀 얘기할때는 1/2아니라면서? 라는 생각이 듭니다. 왜 이 두 문제는 구조가 유사한데 결과가 다를까요?