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Date 2023/04/29 22:05:24
Name 포스
File #1 보손.png (3.7 KB), Download : 463
Subject [일반] 두 공의 위치와 보즈-아인슈타인 분포 (수정됨)


서로 연결되어있는 두 공간 A와 B가 있습니다. 입자 한개가 있을 때, 공간 A에 있을 확률과 공간 B에 있을 확률은 같습니다.
서로 상호작용하지 않는 두 입자가 있을 때, 두 입자가 A공간에 있을 확률은 얼마일까요?
구분할 수 있는 입자일 때와 구분할 수 없을 입자 일 때 확률은 어떨까요?
단, 두 공간의 너비는 입자의 크기와 비교할 때 무한합니다.

구분할 수 있는 입자일 때 확률은 쉽습니다.
총 경우의 수는 AA, AB, BA, BB 4개이며, AA일 확률은 1/4입니다.
구분할 수 없는 입자일 때는 어떨까요?
총 경우의 수는 AA, AB(=BA), BB으로 3개이며, AA일 확률은 1/3입니다.

조금 이상한거 같습니다. 확률문제를 다루는 기본적인 형태인 복주머니로 보겠습니다.
복주머니에 무한히 많은(=무한히 넓어서 서로 상호작용하지 않는)의 빨간공(=A)과 파란공(=B)이 있습니다.
두개의 공을 꺼낼 때 두 공 모두 빨간공일 확률은 어떨까요?

꺼낸 순서대로 공을 구분할 수 있을 때 확률은
1/2*1/2 = 1/4입니다.
경우의 수로 따져도 빨빨, 빨파, 파빨, 파파로 확률은 1/4입니다.

두 공을 동시에 꺼낼 때는 어떨까요? 꺼낸 두 공을 구분하지 못한다고 할 때
빨빨, 빨파(=파빨), 파파로 확률은 1/3입니다.
공 두개 중에 하나가 빨간 확률 1/2, 다른 하나도 1/2이므로 확률이 1/4이라 생각하시나요?
공을 하나하나 구분해서 생각하는 것은 두 공을 구분하지 못한다는 가정을 어기신겁니다.

이제 이해가 가시나요?
더 이해가 안가는가요? 저도 그렇습니다.


틀린 부분이 있으면 얼마든 지적해주세요.
학부때 양자역학 공부할 때 납득이 안가던걸 그냥 받아들이기로 하고 넘어갔는데 아래 슈뢰딩거 글 보고 생각나서 다시 써봤습니다.
제가 풀어 쓰고자 한것은 양자역학의 시간에 무관한 슈뢰딩거 방정식이 적용되는 상황에서, 두 고유 상태의 확률이 동일할 때 보존일 경우와 고전적 입자일 경우 각각의 경우의 확률을 계산하는 것입니다. 틀린부분을 지적해주시면 오히려 속 시원할 것 같습니다.

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개가좋아요
23/04/29 22:25
수정 아이콘
잘 이해가진 않지만 구분할수 없는 입자일때도 aa나올 확율은1/4 아닌가요?
공실이
23/04/29 22:30
수정 아이콘
경우의 수가 동등하지 않아서 1/3 세가지로 나누는 것이 무리가 있어 보입니다. 빨파로 관측될 빈도수가 빨빨 빈도수와 파파 빈도수를 더한것과 같게 나오지 않을까 추측해봅니다.
23/04/29 23:04
수정 아이콘
넵 제가 양자역학적 상황을 현실에 잘못 가져온것인지, 본질적으로 현실과 양자역학이 다른것인지는 잘 모르겠습니다만, 경우의 수가 동등하지 않다는 것은 항상 모든 입자가 구분가능한 고전적인 관점이고, 양자역학적인 관점에서는 경우의 수가 동등하며 확률이 변한다는 이야기를 하고 싶었습니다.
공실이
23/04/30 06:34
수정 아이콘
그렇군요. 정 경우의 수가 높은 확률로 관측되는 건 가능하지 않을까요? 한가지 덧붙이자면 충분히 큰 수의 관측된 결과의 빈도수는 양자역학이나 고전역학이나 다르지 않아야 합니다. 말씀하신 상황은 실제로 실험을 해서 검증을 할수있는 거라... 해석적문제는 아닌것 같고요.
개가좋아요
23/04/29 22:35
수정 아이콘
공실이님댓도있어서 쫌 자신감을 가지고 설명해보자면 동전을 던질때 앞뒤그리고 엄청낮은 빈도로 옆도 있는데 경우의 수로 만 확율 계산하셔서 앞 1/3 뒤1/3 옆1/3 으로 확율계산하는 오류인거 같아요 근대 제가 문제를 잘이해한건지는 몰겠네요
23/04/29 23:07
수정 아이콘
넵 제가 양자역학을 잘 못 이해하여 예시를 잘 못 가져온 것 일수도 있습니다. 양자역학적으로 볼 때, 동전 두개가 구분 불가능 하다면, 앞앞, 앞뒤, 뒤뒤가 나올 확률이 각각 1/3로 동일하다는 이야기를 하고 싶었습니다.
Pygmalion
23/04/29 23:29
수정 아이콘
두 공을 동시에 꺼낼 때 두 공을 구분하지 못한다고 하더라도
빨빨, 빨파, 파빨, 파파이기 때문에 1/4, 2/4=1/2, 1/4로 봐야 하지 않을까요?
비선광
23/04/29 23:31
수정 아이콘
우선 동시에 둘을 뽑을 때도 빨파가 1/2일겁니다
그리고 보즈ㅡ아인슈타인 통계와 페르미ㅡ디락 통계의 차이는 페르미디락통계의 차이를 보시면 하나의 상태에는 하나만 존재 가능한 것이 페르미디락입니다. 우리가 생각하는 확률이 아니라 어떤 상타에 입자가 존재할 경우입니다. 예를들어 페르미디락은 위의 a에 한입자가 차면 다른 놈은 a칸에 못가는데 be통계는 a방에도 둘다 갈 수 있어서 확률이 달라지죠. fd통계라면 빨이 a방 파가 b방 또는 반대 경우만 생기지만, be통계면 같은방에 있을 수 있는 느낌이랄까..근데 주로 낮은에너지에 모이고싶어해서 한방에 몰려서 그걸 bec라고 합니다
23/04/30 00:43
수정 아이콘
제가 구분한 두가지는 보즈-아인슈타인, 페르미-디락이 아닌 보손입자가 따르는 보즈-아인슈타인 분포와 고전입자(구분 가능한)가 따르는 맥스웰-볼츠만 분포입니다.
비선광
23/04/30 05:53
수정 아이콘
맥스웰볼츠만통계는 사실 고전적 입장이긴 해서 근사치가 나오거나 양자효과 못 볼때 주로 쓰입니다. 양자역학 자체가 워낙 우리 직관이랑 다른 세계라 받아들이기러려울 때가많죠
계층방정
23/04/30 09:46
수정 아이콘
구별할 수 없는 입자는 저렇게 그리지 않는 게 더 이해하기 좋을 것 같습니다. 저렇게 그리는 것은 입자의 위치를 정확하게 측정할 수 있다는 것을 의미하는데, 양자역학에서 나오는 구별할 수 없는 입자는 불확정성 원리 때문에 입자가 어디 있는지 정확하게 알 수 없다는 게 전제입니다. 그래서 수식으로 나타낼 때에도 한 개의 상태로 나타내지 않고, 두 개의 상태의 합이나 차로 나타내죠. 그래야지 구별할 수 없음을 식으로 보여줄 수 있습니다. 각 입자를 나타내는 이름을 서로 바꿔도 부호가 바뀌지 않으면 대칭성이고 보스 아인슈타인 통계를 따르며, 부호만 바뀌면 반대칭성이고 페르미 디락 통계를 따르게 됩니다.
계층방정
23/04/30 10:06
수정 아이콘
그래서 위의 서술에서 이상하게 보일 수 있는 부분은 구별할 수 없는 입자는 AA, AB(=BA), BB 세 개의 경우의 수가 있다는 부분인 것 같습니다. 구별할 수 없는 입자의 상태는 각 입자의 상태의 곱만으로 표시되지 않으며, 둘의 합이나 차로 표시됩니다. 그리고 각 경우의 확률은 상태함수의 적분이니,
두 입자가 A공간에 있을 확률 → 두 입자의 위치값에 대한 적분구간이 모두 A공간
두 입자가 B공간에 있을 확률 → 두 입자의 위치값에 대한 적분구간이 모두 B공간
두 입자가 A, B 공간 각각에 있을 확률 → 두 입자의 위치값에 대한 적분구간이 각각 A, B공간
이렇게 봐야 할 것 같습니다.

문제가 더 복잡해진 것 같은데, 구별할 수 없는 입자라는 것 자체가 입자들이 서로 독립 아님을 함축하는 것 같습니다.
Quantumwk
23/04/30 10:44
수정 아이콘
이쪽 분야 잘 아는 편은 아닌데 역시 고수들이 많으신것 같습니다.
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