"누가 최고지? "

세상에는 수 많은 게임과 스포츠가 있다. 당연히 '누가 최고지?' 혹은 '이 선수는 랭킹 몇위지?' 이런 질문들은 자연스럽게 발생했고 사람들은 이 질문에 답하기 위해 수 많은 랭킹 제도를 고안했다.

랭킹 제도는 'PGR 21' 과도 관계 깊다. 과거 'PGR 21' 은 스타 프로게이머들의 랭킹 사이트였고 당시 'PGR 21'은 WP 라는 랭킹 제도를 운용했었고 전적과 랭킹을 볼 수 있었다. PGR의 랭킹제도는 케스파의 랭킹 제도보다 훌륭했었다.
(PGR 은 ProGamer Ranking 약자다.)

현재 랭킹제도의 황제는 Elo 레이팅(점수) 시스템이다. 만약 PGR이 아직까지 랭킹 사이트로써 활동했다면 Elo 레이팅(점수) 시스템을 채택 할 수 밖에 없었을 것이다. Elo 점수 시스템은 다른 시스템과 비교할 수 없을 정도로 뛰어나기 때문이다.1980년 국제 체스 연맹은 물리학 교수인 Elo(엘로) 박사가 만든 Elo 레이팅 시스템이랑 랭킹 제도를 채택했고 이후 Elo 레이팅 시스템은 바둑,테니스,축구등 다양한 곳에 채택되었다.

리그 오브 레전드, 블리자드의 레이팅 점수, 월드 오브 탱크의 레이팅 시스템도 기본적으로 Elo 시스템을 약간 변형 시킨 것이다.좀 늦었지만 스타도 Elo 시스템을 사용하게 되었다. 아프리카에서 하는 전프로들의 스폰빵을 기반으로한 Elo 점수가 현재 스타판을 접수했다.

현재 개발되고 있는 랭킹 제도나 시스템들은 기본적으로 Elo 시스템을 기반으로 한 응용이거나. Elo 의 단점을 보완한 개량판이다. 모든 랭킹 제도는 Elo 시스템으로 통일되고 있다고 해도 과언이 아니다. Elo 레이팅 시스템은 이미 대세가 되었다. 좋든 싫든 우리는 Elo 랭킹 시스템이 지배하는 세상속에 살고 있고 앞으로 더 자주 만날 수 밖에 없을 것이다.

그런데  Elo 점수 시스템은 어떻게 작동하는가? 원리를 알 수 없는 무언가의 방법이 사람들에게 등급을 매기고 평가하는 상황이 기분 나쁘지 않은가?

사실 Elo 는 사람들이 일단 만족할 만한 답을 제공하고 있다. Elo 시스템이 성공할 수 있던 이유 중 하나이기도 하다. 그 설명은 샤워기의 온도 조절 기능에 대한 설명과 매우 닮았다. 샤워할 때 물의 온도를 맞추기 위해 뜨거우면 차가운 쪽으로 차가우면 뜨거운 쪽으로 꼭지를 돌린다. 이런 식으로 설명하는 것과 참 비슷하다.

더 정확하게는 샤워기 물이 많이 뜨겁거나 차가우면 반대쪽으로 꼭지를 많이 돌리고 온도가 약간 뜨겁거나 약간 차가우면 반대편으로 꼭지를 조금 돌리면서 조절한다는 것이다. 이렇게 하다 보면 적정한 온도를 찾을 수 있다.는 것이다. 이것과 똑같은 설명이다.여기선 온도가 아니라 랭킹이니 이렇게 조절한다. 예상외의 결과가(랭킹이 낮은 사람 이김) 나오면 점수를 많이 얻거나 잃고, 예상대로의 결과(랭킹이 높은 사람 이김) 점수를 조금씩 잃거나 얻는다. 결과가 누적되면 자기 점수를 찾을 수 있다는 것이다.

A와 B 두 선수가 있는데 A가 랭킹이 높아서 그가 이길 확률이 90%로 예측된다. Elo 시스템에선 32점을 기준으로 점수를 변동시키는데 A가 이겼다면 예상대로니 32점의 10%(3.2점) 을 가져가고 B는 3.2점을 뺏긴다. 반대로 B가 이겼다면 예상외의 결과니 B가 32점의 90% 인 28.8점을 가져가고 A 선수는 28.8점을 뺏긴다. 이런 식으로 점수를 주고 받다 보면 실력에 맞는 점수를 갖게 된다는 것이다. Elo 시스템에 대해 궁금하는 사람들에게 대부분 이렇게 설명해 준다.

사람들은 대부분 이 정도 설명에서 만족한다. 하지만 자세히 보면 중요한 것을 설명하지 않고 있다는 걸 알 수 있다. '점수로 두 선수의 승리 확률을 예상할 수 있다.' 는 것이다. 사실 점수로 승률을 예상할 수 있다는 것이 Elo 시스템과 다른 랭킹제도의 가장 큰 차이다. 가장 중요한 것은 설명하지 않은 것이다.

물론 그럴만한 이유가 있다. 디따 어려운 공식 때문이다.

디따 어려운 공식

Elo 점수로 두 선수의 승리 확률을 예상하는 방법은 'Elo 레이팅 시스템을 만든 물리학 교수인 Elo 교수님이 만든 '디따 어려운 공식을' 이용하면 된다. 공식을 보다 보면 이런 생각이 들곤한다. '천재 물리학 박사님께서 만든 위대한 공식이니 묻지도 따지지도 말고 따를지어다.

'사실 Elo 에서 쓰고 있는 디따 어려운 공식을 보고 있으면 나도 현기증 난다. 수학을 꽤나 한다고 하는 편인데도 불구하고 그렇다. 공식에 대한 설명을 대부분 패스하는 이유를 알 것 같다. 다행히 수학을 잘하는 편이라 요리사가 레시피를 보고 요리를 따라 하는 것 처럼 나도 설명을 보고 공식을 이해하고 따라할 수 있다.

위키에 있는 Elo의 레시피는 크게 2가지다. '3자 비교법'(혹은 쌍쌍 비교법)과 '10배 차이는 400 점 차이 차이나게 만들었다' 라는 두가지다. 그걸 보고 따라하면 Elo 공식을 유도할 수 있고 이해할 수 있다.

Elo 공식은 '3자 비교법' 가설을 바탕으로 한다. 이 말은 요리로 치면 '3자 비교법'은 주재료에 해당된다는 뜻이다. 치킨 프라이드에 닭이나 , 소안심 스테이크에서 소 안심에 해당된다는 뜻이다.'3자 비교법'은 일반적으로 확률이나 통계에 많이 쓰이는 가우스 함수(정규분포함수)나 그 친척들과 전혀 다르기 때문에 생소할 수 있지만 사실 훨씬 쉽다.

3자 비교법을 한마디로 요약하면 이렇다.
"A가 B를 10배 이기고 B가 C를 10배 이기면 A는 C를 100배 이긴다."

3자 비교법을 이해하려면 '잘한다는 말을 수학적으로는 어떻게 정의하는 것이 좋을까?' 이 질문을 해보면 된다. 여러 방식이 있을 수 있겠지만 3자 비교법에서는 이렇게 정의한다. A,B 두 선수가 30 게임을 해서 20:10의 전적이 나왔다. A 선수가 2배 많이 이기니 B 선수보다 2배 잘한다고 할 수 있다. 잘한다는 말을 이렇게 정의하는 것이 핵심이다.

이번에는 A,B,C 세 선수가 있다고 치자. A 선수는 B보다 2배 잘하고 B는 C보다 2배 잘한다면 A는 C보다 4배 잘한다고 할 수 있다.(2배 잘하는 선수 보다 2배 잘하니) 따라서 A:C= 4:1 로 예상 할 수 있다.비례식으로도 볼 수있다. 2배 잘한다는 말은 A:B=20:10 이고 B:C=10:5 일테니 A:B:C=20:10:5 의 관계를 가질 것이고 따라서 A:C=20:5=4:1 로 예상하는 것이 합리적이란 것이다.Elo 공식은 세 사람사이에 이런 관계식이 존재할 것이라고 가정하는 것을 토대로 한다.

원칙적으로는 뒤에 나오는 비례식이 옳지만 실제로는 앞에 나온 간략한 형태를 주로 사용한다. 실제로는 이런 식이다. 평균 보다 5배 잘하는 선수와 3배 잘하는 선수가 경기한다면? A:B=5:3 이걸 %로 고치면 62.5%:37.5% 따라서 A의 예상 승률은 62.5% B의 예상 승률은 37.5%

현재 스타판에서 쓰는 Elo 점수를 저런 형태로 고치면

이영호 T (1331.1) = 평균보다 6.7배 잘함
조일장 Z (1224.4) = 평균보다 3.6배 잘함

이영호 T : 조일장 Z = 6.7 : 3.6 = 64:9% : 35.5%

좀 유치해 보일 수 있지만 이게 Elo 공식이 작동하는 방식이다. 디따 어려운 공식 같지만 실은 몇배 잘하다. 라는 정의만 받아 들이면 초등학생도 계산 가능한 수준의 산수일 뿐이다.

이영호 T (1331.1) 3.7
김성현 T (1245.3) 4.1
조일장 Z (1224.4) 3.6
김민철 Z (1222.0) 3.6
정윤종 P (1168.3) 2.6
장윤철 P (1153.2) 2.4

이영호 선수와 김성현 선수를 예상 승률은  6.7 : 4.1 이다. 김민철 선수와 장윤철 선수는 3.6 : 2.4 이런 식으로 계산하면 된다.

하지만 막상 공식을 보면 현기증이 난다. 분명 어려워 보인다. 어려워 보이는 이유는 주 재료인 '3자 비교법' 말고 한가지가 더 있기 때문이다.

'10배 차이나면 400점 차이나게 한다.'

이건 프라이드의 튀김옷? 스테이크에서 소스? 이런 것에 해당된다. 대파를 얼마큼 썰지 이런거에 해당된다. 요리사 맘대로 정한 것 뿐이다. 사실 그리 중요한 건 아니다. 하지만 이것 때문에 Elo 공식이 대단히 어려워 보이게 된 것이다.

'10배 차이나면 400점 차이나게 한다.'

이걸 수학적으로 표현하면 이렇다.
원래 X배 차이
→400*log(X)

10배 잘하면 점수 차이가 400 나오게 해준다. 라는 수학적 테크닉이다. 10배 차이나면 500점 차이 나게 하려면 500*log(X) 해주면 된다.

여기에 한가지가 더 추가 되는데 기본점수를 1000점 부터 시작하자는 것이다.
이것도 임의로 정한 값일 뿐이다. (1500 으로 정하는 경우도 많다.)

(기본점수 1000점,10배 잘하면 400점 차이나게 해준다.)
X→400*log(X)+1000
X배 잘한다는 말이 Elo 점수로는 저렇게 된다.



A 선수의 Elo 점수를 Elo(A)라고 하고 A선수가 평균보다 5배 잘한다면?
Elo(A)=400*log(5)+1000=1279.6

B라는 선수의 실력이 평균의 3배라고 한다면
Elo(B)=400*log(3)+1000=1190.9

이게 실제로 쓰는 Elo 점수다.

Elo 공식이 어려워 보이는 이유는 실력값(몇배 잘한다)이 아니라 Elo 점수를 갖고 계산하기 때문이다. 실제 A의 예상승률(B와 게임) 계산은 5/(3+5) 에 불과한데 우리가 다루는 자료는 Elo 점수다. 이건 포장을 벗겨야 먹을 수 있다. 그래서 어려워 보이게 된 것이다. 포장을 풀려면 테크닉이 필요하다. 먼저 5/(5+3) 분모 분자를 5로 나눠줘야 한다. 그러면 공식은 A의 예상승률=1/((3/5)+1)

(3/5) 라는 값을 찾기 위해 두 공식을 서로 빼주고 (3/5)로 정리해주면
Elo(B)-Elo(A)=400*log(3/5)
(3/5)=10^({Elo(B)-Elo(A)}/400)
A의 예상승률=1/((3/5)+1) 이니 (3/5) 자리에 10^({Elo(B)-Elo(A)}/400) 넣어주면 된다.

결과는
A의 예상승률=1/(10^({Elo(B)-Elo(A)}/400)+1)

이게 바로 흔히 보는 Elo 공식이다.

'3자 가정법' 이란 재료를 '10배 차이나면 400점 차이나게 만들'라는 조건을 걸어준다는 레시피를 따라 Elo 공식을 유도한 것이다.(기본 점수는 상관 없다)

작동 방식을 알면 쉽게 보이고
A의 예상승률=5/(5+3)

작동 원리를 모르면 좀 어렵게 보인다.
A의 예상승률=1/(10^({1190.9-1279.6}/400)+1)

사실 둘은 같은 식이다.

Elo 공식은 실은 간단한 것이지만 어렵게 보이게 된 것이다. 어렵다면 'A가 B를 10배 이기고 B가 C를 10배 이기면 A는 C를 100배 이긴다.' 이 원리를 공식으로 바꾼 것 뿐이라고 기억해도 된다.

쉬운 원리로 작동한다는 알게 되었다면 좋은 일이지만 Elo 시스템이 알고 보니 별거 아니라고 생각한다면 큰 오해다. 랭킹 시스템을 만들고 고안하는건 대단히 어려운 일이고 '어려운 것 보다 쉬운 것'이 더 대단한 것이다. Elo 시스템은 간단하지만 강력하다.

Elo 점수 시스템은 스타에서 맵밸런스 논쟁을 종결 시켰다. 서킷 브레이커에서 테란 vs 저그 밸런스는 Elo 시스템으로 측정되고 현재 54.7%:45.3% 이다. Elo 점수로 테란이 32.75점 유리하단 뜻이고 다르게 표현하면 테란이 1.2배 유리한 맵이라고 할 수 있다. 같은 방식으로 투혼의 밸런스는 55.5%:44.5% 측정된다. Elo 점수로 테란이 38.4점 유리하다. 또는 1.25배 유리한 맵이라고 말할 수 있다. 야구에서 홈그라운드의 이점 역시 같은 방식으로 Elo 점수로 50점 정도라고 알려져 있다.

Elo 시스템은 그동안 막연히 추측하던 것들이 실제로 얼마나 되는지 숫자로 정확히 보여줬고 논쟁을 종결 시켜 버렸다. 맵 밸런스나 종족 밸런스 논쟁을 해본 사람은 이것이 얼마나 대단한 것인지 알 것이다.

Elo 공식의 활약을 보면 칼이나 활 들고 싸우던 시대에서 총 들고 싸우는 시대로 바뀐 것 같다는 느낌이 든다고 할까? 기존의 랭킹 시스템과 비교하면 Elo 시스템은 인디아나 존스가 칼들고 설치던 사람을 권총으로 쏴버리고 귀찮다는 표정을 하는 명장면이 떠오를 정도로 강력하다.하지만 어려운 건 아니다. Elo는 "A가 B를 10배 이기고 B가 C를 10배 이기면 A는 C를 100배 이긴다." 이 원리로 작동하는 공식일 뿐이다.

쉬운 걸 어렵게 설명할 필요는 없다.
Elo 레이팅 시스템은 정말 대단하지만 작동원리를 보통 사람이 이해못할 정도로 어려운 것은 아니다.




작년에 올리려고 했던 글인데 PGR은 가입후 2개월이 지나야  글쓰는 권한이 생기다 보니 기다리다 잊어버리고 이제서야 올리네요. 예전 아이디랑 비번은 잊어버린 지 오래라. 새로 가입하게 됐구요.

PGR에서 활동할 때 전적과 맵 밸런스 분석을 주로 했었는데 인기 없었기에 잘 모르실 꺼에요. 하지만 제가 글 올린 지 5년 후에 어떤 분이 제 공식이 괜찮다는 걸 인정해 주시고 그걸 토대로 자료를 분석해 주셨는데 저걸 보고 다시 활동하게 됐네요
https://pgrer.net/pb/pb.php?id=free2&no=55995

저땐 혼자 분석했던 시절인데 저 역시 3자 비교법이란 결론에 도달했었고 링크 속 공식 역시 Elo 공식과 마찬가지로 3자 비교법을 바탕으로 하고 있답니다. 수학적 근거가 아니라 맵 통계를 보고 전적과 밸런스 뒤에는 이런 규칙이 숨어 있을 것이다. 귀납적으로 찾은 건데 나중에 Elo 공식 유도 과정을 찾아 보고 제 예측이 수학적으로 옳았다는 걸 알게 됐네요.

"A가 B를 10배 많이 이기고, B가 C를 10배 많이 이기면 A가 C를 100배 많이 이긴다" 라는 글귀는
http://jeonggyun.tistory.com/126
에서 '맏내나연' 올려주신 표현을 가져왔습니다.