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14/11/27 00:04
개인적 생각으론 퀴즈가 나온 이유는 논문의 저 수치값때문인것 같다고 생각하지만
언급하신 재규정화를 이용한 근접값 말고 무한으로 발산하기 때문에 정수가 아니라 짝,홀수가 아니다라고 해도 답은 맞는건가요? 짝수, 홀수 개념과 동일값, 즉 = 개념으로 접근한다해도 4 답이 맞는건가요?
14/11/27 00:22
무한으로 발산하기 때문에 정수 또는 짝,홀수가 아니다가 거짓입니다.
짝수의 집합을 본딴 수열 {2,4,6,8 ...} 도 무한대로 발산하지만 짝수죠. 답은 4가 맞을리가 없어 보입니다.
14/11/27 11:49
일단 저 글 작성자 분이 제시한 해답이 옳지 않다는게...
이 글이고. 사실 무한번 곱할수가 없기때문에 문제오류? 이런쪽으로 결론이 나지 않을까 싶습니다.
14/11/27 10:23
네. 숫자가 아니기 때문에 짝/홀수가아니다라는식으로 접근하셔도 괜찮다고 생각합니다.
질게의 어제글에 달린 답변(https://pgrer.net/pb/pb.php?id=qna&no=48090)을 참고하시면 도움되실것 같습니다.
14/11/27 11:43
글쎄요 수학적으로 답이 아니다도 증명 가능해야 하는데요.
단순히 무한대이기때문에가 짝홀수도 아니다 라고 말할수 가 없어집니다. 특정수로 규정할수 없다면 짝수 홀수도 될수도 있고 아닐수도 있어야 하는거 아닌가요?
14/11/27 12:25
음.. 저는 무한곱이 정수가 될수없다는것에 대한 설명은 이미 여러 댓글을 통해 충분히 했다고 생각합니다. 정말 엄밀한 증명을 원하시면 페아노 산술공리까지 끌어와서 산술공리를 만족하지 않으므로 정수가 아니다 라고 할수는 있겠지만 여기서 거기까지 할필요는 없다고 생각합니다.
[특정수로 규정할수 없다]라는 표현 보다 그 무한곱의 결과가 정수중에 하나라고 정의하면 정수를 규정하는 성질에 모순되는 상황이 생긴다. 따라서 그런 정의는 기존의 수학과는 맞지 않는다. 라고 표현이 더 좋아보입니다. 무한곱은 정수가 아니라는것은 당연히 알고 계시리라 생각하기때문에 혹여 짝수 홀수의 개념을 정수가 아닌 대상에까지 확장하시겠다는 것인가 싶기도 한데요.. 그런 경우라면 먼저 짝홀수의 개념을 어떻게 무한곱까지 확장할지에 대하여 고민하고 합당한 정의를 먼저 해야겠죠. 그건 pi가 짝수냐 홀수냐를 물어보는것과 같은 상황입니다.
14/11/27 13:23
먼저 소수를 무한번 곱하는게 가능한지 묻고 싶네요?
2*3*5*7*......= ∞는 앞에 리미트라는 극한이 붙었을때에나 가능한 발산적 표현이지 실제 곱하는게 가능하지 않습니다. 짝홀수의 개념이 짝수나 홀수가 아니라고 할수 있나요? 무한대는 가상의 개념이지 실존수가 아니기 때문에 무한대에게 짝홀수를 따지는건 명제도 아닌것에 참 거짓을 논하는것 아닌가요?
14/11/27 13:48
제가 무한번곱할수있다고 주장한적은 없습니다. 주장한적이 없는것에 대하여 답하라니 뭐라해야할지 모르겠군요.
정직하게 곱하지는못해도 그런표기법에대한 좋은 모순없는 수학적정의가 있을 런지는 모릅니다. 뭔지 모르니 경제적으로 표기하기위해 그걸 일단 x라고 불러보죠 제가 말한건 x는 순진한 연산법확장을통해 정수의 요건을 만족하게 할수 없다는것입니다. 누군가 나는 무한곱을 숫자라고 부를테야라고 주장한다면 그에대한 반격이 될뿐이지 무한곱이 수학적으로 어떻게하면 잘 정의할수있는지에 대한것은 제 논지가 아닙니다. 무한번곱한것이 설사 먼미래에 누군가 무한곱의 쉽고 좋은 계산법을 제시하더라도 그게 우리가 부르는 정수의 요건에 모순되므로 뭔진몰라도 최소한 정수는 아니다 그러므로 정수의 일부인 짝수홀수 또한 아니다. 여기까지가 제 논리입니다. 보기4가 짝수도 아니고 홀수도 아니다 제가보기엔 4번만 수학적인 논리에 위배되지않는 유일한 답변이라고 생각합니다.
14/11/27 14:00
먼저 첫째문단은 문제의 모순성을 지적한겁니다,.
무한대로 곱하는건 가능하지 않기때문에 (앞으로도 가능할리 없습니다.) 그 숫자를 논하는것 자체가 무의미 합니다. 프로그래밍으로 한다면 당연히 인터럽트가 발생한거죠. 무한대라는 개념자체가 가상이기때문에 컴퓨터나 프로그래밍에서는 오류가 납니다. 오류값에 짝수 홀수를 따지는 행위 자체가 무의미 합니다. #div/0 오류가 났는데 이값을 짝수냐 홀수냐 따지는것 자체가 있을수 없다는 거죠. "나무가 아름답다" 이문장의 참 인가 거짓인가 ? 묻는다면 무엇이라고 대답해야 한다고 생각하시나요?
14/11/27 17:14
참도 아니고 거짓도 아니다 가 제 답변이겠죠. 그게 논란의 문제에선 4번 선택지에 해당하는 것이고요.
누군가 0으로 나누어 오류가 나온값의 짝수홀수를 물어본다면 짝수도홀수도 아니다. 이상의 답변은 못할것같습니다. 그리고 무한곱은 수학적개념의 표기법입니다. 지금있는 정의가 수학의 전부라고 할수없죠. 예를들어 곱하기를 더하기의 반복으로 정의하던 시절에는 무리수의 곱셈은 영원히 불가능한 개념이었을겁니다. 수학의 역사자체가 기존의 정의를 어떻게 하면 모순없이 잘 확장할수있을까에 대한 고민의 역사이기도 합니다. 그렇기때문에 그런 표기법이 먼 미래에도 불가능하다는 주장은 조금 위험하다고 생각합니다. 교과과정상의 수학에는 해석불가능한 표기법이라는데에는 동의합니다. 문제가 모순되었다고 주장하시는건 수학문제가 아니라 국어문제의 영역이라고 생각합니다. 좋지 않은 문제다라는 논란의 여지가 있을지언정 문제자체에 논리적 수학적 모순은 없어보입니다.
14/11/27 20:58
명제가 아닌것의 참 거짓을 논하지 않습니다.
명제가 아니므로 참이 아니다는 어디서도 본적도 없습니다. 그렇다면 Φ는 홀수인가요? 짝수인가요? 벡터 (1,2)는 짝수인가요? 홀수인가요? 급수 2-2+2-2+2 .... 는 짝수인가요? 홀수인가요? 분명 본문에도 수렴하지 않는 급수를 특정문자나 k로 치환하는것은 해석학을 벗어난 영역이라고 했고 기존체계와 모순을 일어나기 때문입니다. 물론 발산하는 급수를 ∞ 로 놓고 계산하는 비표준해석학이 있기도 하지만 여기는 기존의 사칙연산이 벗어나기때문에 정수론적 짝수 홀수를 논할수도 없는데요? 실해석학을 벗어나서 짝홀수를 말하는건 비 유클리드 기하에서 자와 컴퍼스로 작도를 하라는 것처럼 말이 안되는 일 입니다.
14/11/27 23:10
손오공 님//
기존의 수학개념으로는 정의가 안된다는것은 둘다 동의하는것이니 남아있는 문제는 명제논리의 영역으로 넘어왔군요. Φ는 홀수인가요? 짝수인가요? 벡터 (1,2)는 짝수인가요? 홀수인가요? 급수 2-2+2-2+2 .... 는 짝수인가요? 홀수인가요? 이 모든 질문에 A. 짝수가 아니다. B. 홀수가 아니다 명제 A,B 둘다 참이라고 답하겠습니다. 당연히 짝수도아니고 홀수도 아니다 라는 A and B 라는 명제도 참입니다. 명제가 아니라고 생각하시는것 같긴한데, 왜 참거짓을 가릴수 없다고 생각하시는것일까요. A가 B이다 라고 말하는것은 A라는 놈이 B를 규정하는 집합의 원소가 된다 아니다의 의미인데 홀수를 규정하는 집합의 원소가 될수없다라는것을 보이는것이 거짓을 보이는데 충분하지 무엇이 더 필요한것일까요. 예를들어 [삼각형은 홀수가 아닙니다]. 이말은 명제이며 또한 참인 명제입니다. 왜냐하면 삼각형은 홀수입니다 라는 문장이 명백히 거짓이기 때문이죠. P가 거짓이면 P의 부정즉 ~P는 참이될수밖에 없습니다. 반대로 P가 참이면 ~P는 거짓일수밖에 없구요. 혹여 브라우어처럼 배중률을 부정하는 새로운 논리체계를 창안하시는것이라면, 그에 대해 좀더 자세히 설명을 해주시면 제가 아는 선에서 보편적으로 통용되는 논리학및 수학과 비교해서 어떤 차이가 있는지 말씀드릴수 있을것 같습니다.
14/11/28 00:01
모든 소수를 곱하였을 때 이 수는, 홀수,짝수 중 어느쪽인가? (정답률 37%)
|여기서 저는 계속 모든 소수를 곱하였을 때 이수는| --- 여기까지를 가정이죠? 여기에 주목하고 있는데 계속 다른쪽만 반박하시네요. 분명히 모든 소수를 곱할수 없고 곱하는 것이 발산한다는 것만 알수 있을 뿐이죠. 해석학적으로 무한을 다루는건 주로 극한을 통해서이고 이번에는 집합에조차 들어 있지 않은 생 무한합이나 곱을 발산한다고 하는 것 이외에 "무엇" 이라고 조차 할수 있느냐는 것 입니다. 또한 해석학적 실수체계에 담을 수 없는 것인데 이것을 "이수" 라고 숫자라고 칭하고 있습니다. 가정부분의 진리집합은 R에 포함되지 않기때문에 문제자체가 결함이 있는거죠.
14/11/28 00:42
손오공 님//
A. 모든 소수를 곱했을때 이 수는, 홀수 짝수중 어느쪽인가? B. 모든 소수를 곱했을때 그 결과는 홀수, 짝수중 어느쪽인가? B 에대해서는 4번 선택지 짝수도 홀수도 아니다 가 정답이다 라는 주장에 동의하시면 그걸로 저도 만족입니다. A.에 대해서는 말씀하신 " 이 수"라는 표현이 문제가 될수 있어 선택지를 무엇으로 택하던지 무의미하다는 주장에 대해서 저도 동의합니다. 솔직히 말씀드려 여기까지오면 수학문제가 아니라 언어해석의 영역인것 같습니다. 마지막으로 지금의 수학적정의가 영원불멸할것으로 생각치는 말아주셨으면합니다. 실제로 음수, 무리수, 허수 같은 개념들도 기존의 "수"에 대한 정의가 바뀌어 왔다는것을 보여주는 좋은 사례들입니다. [무한곱이 발산하는것 이외에 그 무엇도 아니다] 라는 주장은 [곱셈은 더하기의 반복 그 이외에 무엇도 아니다]라는 주장과 다를바없다고 생각하기 때문에 저는 그리 좋아하진 않습니다. 수학자들이 그런 태도를 가졌다면 수학의 발전이 훨씬 더뎠을 것이며, 기존에 알려진 정의로 뭔가 잘 안될때, 좀더 나은 새로운 정의가 없을까 항상 궁리하는게 수학자의 삶이기도 합니다.
14/11/28 10:54
B의 경우에 보자면
모든 소수를 곱했을때 그결과는 홀수이다. 와 전혀 다른뜻의 문장이 되어 버리지 않습니까? 일반적인 작도문제는 굳이 유클리드 기하학 안에서만 해결하라고 주어지지 않아도 됩니다. 이유는 비유클리드 기하에서는 자와 컴퍼스를 재 규정 해주지 않는다면 해결이 불가능 하거든요. 당연히 짝수 홀수인지 묻는 문제라면 짝홀수 체계가 성립하는 해석학 영역을 벗어나 버린다면 거기에서 짝수인지 홀수인지 묻는다면 짝수 홀수에대한 재 규정화가 있어야 하지 않겠습니까? 수학적 정의가 새롭게 확장하려면 기존 체계를 무너 뜨리면 안됩니다. [분명 무한곱을 발산하는것 이외에 무한대로 잡는 비표준 해석학이 가능함을 말씀드렸고] 이곳은 정수론 체계가 성립하지 않는다고 말했습니다. [무한곱을 실수형태로 잡는것은 기존 해석학에 모순됨을 말했고요.] 비표준 해석학에서 짝 홀수를 논하고 싶으시면 새롭게 짝홀수와 덧셈 곱셈 연산이 가능한 비표준 해석학 쳬계가 알고 싶네요.
14/11/28 15:31
손오공 님// 답변이 늦어서 죄송합니다. 저도 생업이 바쁘다보니, 양해해주시길 바랍니다.
비표준해석학의 짝수와 홀수가 무엇인지 알필요없습니다. 중요한건 그개념이 무엇이든지간에 우리가 말하는 홀/짝수와는 다른 개념일겁니다. 홀수짝수를 말하는것은 새롭게 창조된 수학이 홀수라는 이름을 가졌다라는 우연한 사건을 말하는게 아니라 우리가 학교에서 배운 홀수의 개념에 부합되는것을 물어보는것입니다. 그리고 잘 알고계시다시피 그것이 우리가 알고있는 자연수의 요건을 만족하지 않는다는것은 논증할수 있습니다. 요약하자면 당연히 어떤 X가 홀수가 아니다 라고 말하기 위해 X가 무엇인지 낱낱이 밝힐필요가 전혀 없습니다. 예를들어 (1,2)가 홀수다. 이문장이 거짓임을 논하기 위해 벡터가 자연수가 아님을 보임[즉 자연수의 성질을 만족하지 않음을 보임]으로써 충분하지 그 이상 무엇이 필요하겠습니까.
14/11/28 22:15
Quantum 님//
일단 본문을 읽어 보셨는지가 굉장히 의문스럽네요? 1÷0은 짝수인가요? 홀수인가요? 당연히 이 답도 둘다 아니다 라고 하실건가요? 비표준해석학에서 짝홀수 개념이 존재하지도 않는데 짝홀수라고 말하는게 가능하다고 주장하시는건가요? 설마 비표준 해석학에서 기존 자연수의 성질이 만족된다고 생각하시나요? 기존유클리드 기하학에서 삼각형이 닮음이었다고해도 다른기하학에서는 아니거나 아니면 반대인 경우도 많습니다. 기존 기하에서는 정육면체와 구는 합동이 아니지만 위상수학에서는 합동이 되는것처럼 실해석학에서 짝수가 아닌것도 비표준으로 가면 어떻게 변할지 장담 못합니다. 물론 짝수부터 재정의 해야하고요.
14/11/28 22:50
손오공 님//
혹시 먼미래의 뭔지모를 표준 해석학에서 참일수도 있지 않느냐 라는 질문인지요? 수학문제란게 지금우리가 암묵적으로 동의하는 공리체계에서 모순이냐 아니냐를 통해 참거짓을 밝히는 작업이지 어떤 수학체계를 사용하는지 가정하지 않는다면 모든 수학문제가 참거짓을 밝힑수 없는게 아닌가요 말씀처럼 유클리드기하 /쌍곡기하/위상기하 서로 다른 공리계를 가지고 있으니 같은 문장이라더 참거짓이 다릅니다. 당연히 교과과정의 표준 수학을 공리를 가정하여(정확히는 ZFC 공리계) 그에 위반하는지를 살펴 참거짓을 판단하는것입니다. 1÷0 이 짝수이다. 1÷0이 홀수이다. 1÷0은 숫자이다. 셋 모두 거짓인 명제입니다. 무슨 문제가 있는지요?
14/11/28 23:23
Quantum 님//
본문도 읽어보지 않고서 댓글 다시는거 같네요. 1÷0 의 나눌수 없다가 정의 아닌가요? 셋다 거짓인 명제가 아니라 1÷0 은 불가능하도록 정의 되어있기 때문에 명제가 아니다죠. f(x)= 1/x 이라하면 x=0 에서 f(x)는 짝수인가 홀수인가? 여기에는 어떻게 대답하실려구요?
14/11/29 03:39
손오공 님//
f(x)= 1/x 이라하면 x=0 에서 f(x)는 짝수도 아니고 홀수도 아니다. 위 명제는 참입니다. f(x)= 1/x 이라하면 x=0 에서 f(x)는 나눌수 없다. 이 명제또한 참입니다. 본문이든 리플이든 여러번 곱씹어도 뭐가 문제인건지 모르겠습니다. A : 1÷0은 숫자이다. 라는 A명제 거짓입니다. B: 1÷0은 숫자가 아니다 위 B 명제, 참입니다. 위의 A 와 B 문장이 명제가 될수없다고 생각하시는 이유를 좀 자세히 설명해주실수 있나요? [명제가 아니라는걸 증명하려면 명제의 성질을 만족할수 없다는걸 보여야합니다.] 명제가 아니라면 참/거짓을 가릴수있다고 가정했을때 우리가 암묵적으로 동의하는 논리/공리체계에서 모순이 유도 되어야할텐데 그게 어떻게 가능할지 잘 모르겠습니다. 제 눈엔 A나 B 둘다 참거짓을 가릴 수 있는 문장, 즉 명제라 하여도 아무런 논리적 하자가 없어보입니다.
14/11/29 10:49
Quantum 님//
0÷1 f(x)=1/x , x=0 의 진리집합이나 부정을 말해보세요. 정의역이 아닌곳에서 어떠한 논의도하지 않는것 기본적인 해석학 틀입니다. 이틀을 무시하면 기존체계에 모순이 일어난다고 몇변을 말하나요.
14/11/29 11:04
손오공 님//
진리집합이나 부정을 말하라는데 도대체 어떤 문장에 대한것인지 명확히 해주세요. 또 어디에 모순인지도 말씀해 주셔야죠. 또한 A : 1÷0은 숫자이다. B: 1÷0은 숫자가 아니다 위와같은 문장, A,B는 명제는 참거짓을 가릴수있으므로 명제라는 제 논증에 대해 어떻게 생각하시는지도 말씀해주셨으면 합니다. 답변은 안하고 질문만 하시면 손오공님이 머릿속의 사고의 흐름을 파악하기 어려워 생산적인 문답이 어렵다고 생각합니다. 다시한번 보충설명하자면, 교과서에서 "1÷0은 숫자가 아니다" 라는 문장을 보셨을때 이게 참일지 거짓일지 결정할수 없는 말이야 라고 생각하시나요? 혹은 맞는말이라고 생각하시나요? 저는 맞는말이라고 생각합니다. 말씀하신것처럼 A: 1÷0 은 나눌수 없다 라는 명제(잘 아시겠지만 공리라고 하면 증명없이 참이죠. )가 참이기때문이죠. 숫자라면 나눌수 있어야하고 나눌수있다고 하면 공리인 A에 모순입니다. 그래서 1÷0은 숫자이다 라고 말하면 거짓입니다. 저는 최대한 엄밀하게 증명을 보이려 노력하였습니다. 그럼, "1÷0은 숫자가 아니다" 라는 문장이 참거짓을 가릴수없는 이유를 부탁합니다.
14/11/29 11:07
손오공 님//
손오공님의 해석학은 보통의 수학하고 좀 다른것 같습니다. 번거롭더라도, 좀 자세히 풀어서 설명해주시고, 어떤 모순이 일어나는지도 구체적으로 설명해주셨으면 합니다. 모순이 일어난다고 말만 하시면 그말을 누가 믿겠습니까? 모순을 보여주셔야죠. , 또한 제 질문에 대한 답변도 부탁합니다.
14/11/29 11:16
Quantum 님// p ->q
에서 p의 진리집합이요 가정 결론 쪼개서 진리집합 나누고 P⊂Q 이면 참 아니면 거짓 이거 중등과정에 나오는건데요 이런것도 설명해야 할까요? 세상에 해석학을 모르시나요? 해석학도 모르고 이논의를 어떻게 하신거죠? 해석학과 기존의 수학이 다르다? 뭐라 할말이 없네요. 위에 쓴 해석학이 무슨뜻인지도 모르시면서 무얼 반박하신건가요? 비표준해석학도 무엇이신지 모르겠네요?
14/11/29 11:53
손오공 님//
1÷0 의 진리집합을 무턱대고 물으시니 난감합니다. 1+1=2 진리집합이 무엇이냐고 물으시면 어떻게 답변하시려나요? 무엇보다도 "1÷0 은 숫자이다" 라는 문장이 두개의 명제를 합성한 p->q 꼴로 쓰여졌는지요? 가급적 이 문답에서 새로운 용어의 도입하실때는 좀더 자세히 부탁합니다. 근본적으로 동일한 개념일지라도 사람마다 배운 방식에 따라 이해하는 방식이 다를수 있으므로 조금 더 용어의 의미를 분명히 해주시는게 좋을것같으며 논의 외적인 내용은 가급적 언급을 삼가하고 논리 그자체에만 집중하셨으면 합니다. 참고로 고교과정부터 대학원박사과정까지에서 배우는 통상 Analysis - 해석학이라고 불리우는 과목은 전부 정식으로 이수했다고 할수있겠지만 손오공님의 해석학은 잘모르겠습니다. 또한 지금의 이슈는 해석학이라기 보다는 명제논리나 집합론의 논쟁에 가깝습니다 이 논의에서 무슨 고급개념을 인용할 필요가 없습니다. 기초적인 산술과 논리학만을 가지고 이야기 하는데 굳이 다른 말 할필요가 없다고 생각합니다. 또한 열심히 작성하신 처음 본글의 내용에 시비거는것 같아 코멘트하지는 않았습니다만, 비표준해석학과 관련되어 잘못된 내용이 몇몇있습니다. 말씀드려도 왜 그런지 제대로 이해하시기는 힘들것 같지만 최대한 풀어서 써보겠습니다. 가장 중요한 오류는 무엇보다도 비표준해석학의 결과로 모든 소수의 무한곱이 4pi^2 가 나왔다고 말씀하신 부분입니다. 최초 이 논란의 그 계산- 소수의 무한곱은 굳이 따지자면 정확히 표준해석학의 기반위에서 무한곱이라는 연산의 정의를 달리하여 얻어진 것입니다. 무엇보다도 해석적 연속, 즉 Analytic continuation은 표준해석학의 범위인 복소수체를 벗어나면 성립하지 않는 성질입니다. 따라서 그에 기반한 renormalization 이라는 기교 자체가 통상 말하는 비표준해석학에서는 성립하지 않아 무용지물인 테크닉입니다. 보통 비표준해석학은 hyperreal number 나 surreal number 등을 포함하여 무한대 개념에 대한 산술을 포함하도록 수체를 확장한 체계를 다루는 수학분야를 뜻합니다. 어쩌면 손오공님의 비표준해석학이 보통 수학 학계에서 말하는것과 다른 개념일지는 모르겠습니다만, 제가 아는선에서는 모든 소수의 무한곱이 4pi^2 이라는 말이 비표준해석학의 결과로 얻어진다는 말은 잘못된 정보입니다. 물론 이 내용은 지금 "1÷0 은 숫자이다" 라는 문장이 명제냐 아니냐는 논의와는 무관하니 그냥 참고만 하셨으면 하며, 일단은 부디 본 논의에만 집중하셨으면 합니다. 비표준해석학이나 해석적 연속에 관련하여 말하고 싶은 사항이 있으시면 일단 이 논의부터 끝낸후에 따로 문답의 타래를 만들어가는게 좋을것 같습니다.
14/11/29 13:23
Quantum 님// 세상에 진리집합을 논할때 명제이어야만 한다구요?
필요조건 충분조건도 모르시나요? http://www.visang.com/upload/book_data_ebook/14math_h2_textbook/14math_h2_textbook.html 37쪽 문제4번 1) x는 3의 배수이다 이게 명제로 보이시나요? 명제가 아닌 조건에 쓰는 p,q이고 진리집합도 조건에 쓰이는거지 명제에 쓰이는것도 아닙니다. 님 의견대로라면 1÷0은 짝수가 아니다가 참인 명제 아닌가요? 그렇다면 이것의 대우 명제는 뭐라고 생각하시나요? 제가 언제 소수의 무한곱=사파이 제곱이 비표준해석학으로 얻어진다 했었나요? 어디서 그렇게 곡해하시나요?
14/11/29 13:48
손오공 님//
첫째, 물어보신, "1÷0은 짝수가 아니다" 참인 명제입니다. 대우명제는 "짝수인것은 1÷0 이 아니다." 당연하게도 참인 명제 입니다. 우리의 공리에 의하여, 1÷0 이 숫자가 아닙니다. 따라서 이문장이 거짓이라면 1÷0 이어야하고, 숫자가 아니어야합니다. 하지만 우리는 짝수가 숫자라는것을 이미 알고있죠. 모순이며, 따라서 참인 명제입니다. 손오공님이 주장하시는대로 이문장이 명제가 아니라면, 참인지 거짓인지 가릴수없어야합니다. 제가 거짓이라고 가정하여 공리에 모순됨을 유도하여 거짓이라는것을 보였으니 혹시라도 만약 손오공님께서 거짓이라고 가정하였을때 조차 어떤 자명한 공리에 모순됨을 보인다면, 문장이 명제가 아니라는, 즉 참거짓을 가릴수 없다는 주장에 대한 증명이 될것 같습니다. 저는 그런 상황이 실재로 발생할수 있는지 매우 궁금합니다. 둘째, 저는 손오공님과 문답을 반복하면서, 소수의 무한곱이 비표준 해석학으로 얻어진다고 말씀하신것으로 오해하였습니다. 아마 저처럼 오해하신 다른 분들도 있을것 같으니 그에대한 코멘트는 저같은 분들을 위한것으로 이해해 주셨으면하며, 제가 오해한 점에 대하여는 사과드립니다. 셋째, 저는 최대한 성실하게 답변하려 노력하고 있습니다. 다시한번 부탁드립니다만, 제 질문에 대해서도 답변해주셨으면 합니다.
14/11/29 14:15
Quantum 님//
왜 진리 집합은 회피하시죠? 조건 x는 1÷0이다의 진리집합은요? 가정 결론을 분리 할수 없어 진리집합을 찾아낼수 없다는 신박한 결론은 처음봤습니다. 명제이면서 가정 결론이 분리가 불가능한건이 어디있나요? 명제 1+1은 2이다 가정은 1+1 이고 결론은 2이다이죠. 어떤수가 1+1과 같으면 그수는 2이다. 라고 해석해도 마찬가지이지요. 가정의 진리집합은 {2} 결론의 진리집합또한 {2}입니다. 가정과 결론의 진리집합이 같으니 필요충분조건이고 명제의 역이대우모두 참이겠네요. 그리고 1÷0을 예시로 들고 있는것은 소수의 무한곱보다 직관적으로 들기 쉬운 예시라서 대체해서 쓰고있는것이지 이것을 소수의 무한곱으로 대체해서 생각하셔도 무방합니다. 제가 말한 해석학이 통상적인 해석학하고 어긋난 부분이 어디있나요? 있다면 잘못말한 것이거나 잘못생각하고 있던것이겠지요. 이런부분이 있다면 수정하고 고쳐야겠지요. 짝수인것은 1÷0이 아니다가 참인 명제라 하셨으니 여기서 가정 결론 분리 하면 어떤수는 짝수이다. 어떤수는 1÷0이 아니다가 되겠죠
14/11/29 15:38
손오공 님//
첫째, 저는 의미를 확실히 하기위해 물어보긴 하였지만, 진리집합을 찾아낼수없다고 결론 내린적 없습니다. 둘째, 물론 1÷0 이나 1+1+1... 이나 소수의 무한곱이나 지금 논의에서는 다 마찬가지입니다. 그부분에 대하여서는 잘 이해하고 있습니다. 모두 숫자가 아니니까요. 다행스럽게도 이번에는 좀 더 자세히 적어주셨으니, 그걸 기반으로 이야기 하면 될 것 같습니다. 제게는 이제야 좀 무슨말씀하시는지 좀더 분명해진것 같습니다. 우리 논의의 전체 진리공간을 물으신다면, 당연하게도, ZFC 산술공리계를 통해 유효한 원소 전체를 모아놓은 집합이 될것입니다. 셋째, 통상적인 해석학하고 어긋난 부분이 있다고 말씀드린것은 통상 Analysis 라는 분야가 주로 다루는 극한이나 수체에 관한 내용없이 산술이나 논리 혹은 집합론적인 내용에 관한 이야기 뿐인데 해석학이라고 자꾸 말씀하셔서 드린 말씀입니다. 지금 저희문답에서 논의하는 부분은 전통적으로 Analysis라고 불리우는 수학분야 혹은 대학 과목에서는 다루는 부분이 아닙니다. 때문에 뭔가 내가 생각하는것과 좀 다른것인가 하고 잠시 고민하기도 하였습니다. 사실 수학자들 모두가 공통된 용어를 쓰지는 않고, 사람마다 약간씩은 용어의 정의가 다른 경우가 보통입니다. 때문에 수학자들이 서로 대화하는 동안 혹은 논문을 읽을때는 상대방이 암묵적으로 사용하는 정의가 내 정의와 얼마나 다른지 파악하는것이 매우 중요합니다. 솔직히 말씀드려, 어처구니없다는 투로 질문만 짧게 던지셔서, 의도하시는 바를 파악하기 어려웠고, 보통의 수학과 좀 다르다고 한부분은 좀 더 생각하는 바를 자세히 설명해주십사 하는 뜻의 수사적 표현이라고 생각하셔도 좋습니다. 넷째 [ 의미없는 말이 되어버려 지웁니다, 처음엔 착각했었는데, 바뀐 댓글에서는 하신말씀의 의미가 분명해져서 필요없는 단락이 되었습니다. ] 다섯째, conditional variable과 진리집합을 이용한 논란이 되는 문장에 대한 저의 해석은 이렇습니다. 가정 : x는 짝수이다. 결론 : x는 1÷0이 아니다. 가정의 진리집합은 {2,4,6,8,10,...} 결론의 진리집합은 말그대로 ZFC공리가 유도하는 전체 진리공간에서 1÷0 을 제외한 집합입니다. 물론 숫자 집합 전체 또한 그에 포함됩니다. [가정의 진리집합이 결론의 진리집합의 부분집합이므로 참입니다. ] 여섯째, 전체 진리공간을 숫자로 제한 하고싶으신것 같은데, 그리하면 결론의진리집합을 따져보면, 모든수는 1÷0 이 아니기 때문에 당연하게도 즉 짝수전체를 포함한 전체진리공간이 결론의 진리집합이 됩니다. 가정의 진리집합이 짝수이므로 진리집합의 포함관계에 의하며 그 명제 자체는 참입니다. 언뜻보기에 이경우는 문제없어보이기도 하지만, [그런식으로 진리공간을 제한하면 엄격한 명제 논리 전개를 했을때 심각한 문제점을 유발합니다.] 좀더 자세히 설명하겠습니다. 전체 진리공간을 숫자로 제한하시면 "x는 1÷0 이다"의 진리집합은 공집합이 됩니다. p->q 에서 p의 진리집합이 공집합이되면, q가 어떤 말이 오든지간에 그것의 부분집합이 될수있어 모조리 참인 문장이 됩니다. 잘 아시겠지만 이진논리에서 따지는 진리표에서도 가정이 거짓이면 항상 참인 명제입니다. 이를테면, 전체 진리공간을 숫자로만 제한하고, 말씀하신 conditional variable을 붙이는 방법을 사용하게 되면 "1+1+1... = 1" 또한 가정에 대한 진리집합이 공집합이되며 참인 명제가 되는 어처구니없는 사태가 발생합니다. 설마 손오공님의 수학체계에서 이런 걸 참으로 취급하실리는 없다고 생각하고요. 당연하게도 "1+1+1+1+...은 숫자가 아니다" 혹은 "1+1+1+1+... 은 발산한다". 이런식의 문장이 참이 되어야 하고 "1+1+1+.. 은 숫자이다.", " 1+1+1+... =2" 이런 문장은 거짓이 되어야하지 않을까요? 진리공간을 숫자로만 제한하고 엄격하게 명제논리를 진행하면 이런 이상한 일이 발생하기때문에, 대개 진리공간을 특정한 작은 집합으로 제한시킬때는 처음부터 분명히 명시하는게 보통입니다. 일곱째, 다시한번 묻고싶습니다. 손오공님께서도 계속해서 회피하고 계시는 질문, "1÷0은 숫자가 아니다" 라는 문장이 말하는 바가 참라고 생각하시는지 아니면 참거짓을 판정할수 없는, 명제가 될 수 없는 문장이라고 생각하시는 지요?
14/11/29 17:11
Quantum 님//
셋째 생각해보면 처음 주어진 문재를 집합론의 무한공리까지 이용해서 반드시 풀어야 하는지가 의문이네요. 통상 실수밖 까지 끌어들여 해결하여야 하는 1%를 위한 문제라고 생각하신다면 뭐 할말이 없습니다만. 트위터가 특정 전공대상자를 위한 공간도 아니고 모두에게 개방된 공간에 낸 문제를 저렇게 한정지어야 한다고 보시나요? 넷째는 작성하다가 순서가 바뀌었네요. 위 내용이 아래로 딸려들어간거 같네요 수정하였습니다. 여섯째 1÷0에 해석학적 정의는 나눌수 없다 입니다. 함수 f(x)=1/x 라고 할때 x=0에서 f(x)는 얼마인가? 이문제는 정의역을 x가 영이 아닌 실수라 한정짓지 않아도 기존해석학에서는 문제가 잘못된것 아닌가요? 고교과정에 속하는 한정적인 해석학적으로 모순된 문제임을 계속해서 제시하고 있는데 전공자를 위한 집합론 원리를 끌어들이신다면야. 일곱째. 우리나라 고교과정에는 집합론 이나 zfc공리는 배우지 않습니다. 전공자끼리 이야기 한다면 몰라도 1÷0을 통상적으로 zfc 공리의 하나중에 수학 개념으로 받아들이는건 일반적인게 아니죠. 가정 어떤 것이 1÷0 이다. 고교과정안에서는 진리집합이 존재하지 않는거죠. 공집합이 아니라.
14/12/01 06:23
손오공 님//
주말동안 접속을 못하여 답변이 늦어 죄송합니다. 이번 답변에도 마찬가지이지만, 보편적인 수학체계와 다른 말씀을 자주하셔서, 좀 의아합니다. 손오공님과 저 둘중한명이 뭔가 오개념이 있던가 아니면, 용어에 큰 차이가 있던가 하다고 생각합니다. 첫째, 집합론의 무한공리가 무엇을 뜻하는거죠.? 문맥상 뭔가 비표준해석학과 관련된 어떤것인것처럼 적어주셨는데, 저는 그런걸 사용한적도 없습니다. 사람이 실수할수도 있으니 혹시 표준해석학의 범위에서 벗어난게 있다면 말씀해주세요. 전혀 없습니다. 그런 말씀을 자꾸 하시니 손오공님의 해석학은 제가 아는 수학과 다르다는 말씀을 드리는겁니다. 혹시 ZFC 의 axiom of infinity를 말하시는 것인가요?, 그게 없으면 공리적으로 자연수를 제대로 정의하지 조차 못합니다. (좀더 정확히 말하면 페아노 산술공리를 ZFC 로 유도하지 못한다는 뜻입니다.) 무한공리가 없으면 자연수가 없는 수학체계가 되고 그런식으로 ZFC의 공리 일부를 바꿔 새로운 공리계를 세우고 그 위에서 해석학이론을 만들어 나가면 소위 말하는 비표준해석학이 될거라 생각합니다. 둘째, 제 논의가 이를테면 ZFC 공리가 교과과정상의 수학을 벗어나는것처럼, 말씀하시는데, 그것도 이상합니다. 현행 대학교 수학과 학부과정까지 수학 교과과정상 배우는 모든 내용은 ZFC 공리계 위에서의 수학입니다. 교과과정상 명제는 ZFC에서 명제이며 정확하게 역도 성립하고 참거짓도 정확하게 일치합니다. 사실 ZFC공리계는 뭔가 아는척하는 용어라 저는 선호하지 않습니다만 "ZFC 공리계의 수학" ,"보편적으로 학교에서 배우는 수학" 이 두가지는 수학적으로 완벽하게 같은 대상을 지칭하는 다른 이름입니다. 그냥 ZFC 라는 단어는 잊어버리고 학교에서 배우는 수학이라고 이해하셔도 됩니다. 셋째, 해석학의 결과로 "1÷0 은 나눌수 없다"라고 하신건 정확하게 이해하고 계신겁니다. 잘 아시겠지만 이 논의에서는 이미 "1÷0 은 나눌수 없다"를 공리로 추가하였습니다. 그걸 공리로 추가해도 안전하다는걸 없다는걸 증명할때나 해석학이 필요한것이지, 이미 공리로 받아들인 이상 표준해석학이나 비표준해석학이든 이 논의에서 끼어들 여지는 전혀 없습니다. 제가 느끼기엔 손오공님은 해석학 이전에 기본적인 명제논리에서 뭔가 오개념이 있으신것으로 이해됩니다. 제 논증에 이상하거나 의심이 드는 지점이 있으면 남김없이 말씀해주길 바랍니다. 혹여 제가 잘못이해한게 있다면 지금이라도 바로잡아야하니까요. 넷째, 저는 1÷0 을 무엇인가 숫자값으로 정의한적이 한번도 없습니다. 표준해석학의 모든 결과는 ZFC로 증명할수 있고 해석학의 결과로 얻어진 "1÷0 은 나눌수 없다" 라는 결과는 ZFC 정확히는 학교에서 배우는 보편적인 수학에서 참인 "명제" 입니다. 그러니 공리로 추가할수 있는것이고요. 묻고 싶습니다. 아래 세개의 문장이 있습니다. A: "1÷0 은 나눌수 없다" B: "1÷0 은 숫자이다" C: "숫자는 나눌수있다" 위 문장들 A,B,C 중 명제가 어떤것이고 명제가 아닌게 어떤것이죠? 먼저 진리집합이야기를 말씀하셔서 물어봅니다만, 명제라면 진리집합은 무엇이죠? 혹시 학교에서 배우는 보편적인 수학에서 위 A,B,C 중에 참거짓을 가릴수없는 문장이라서 진리집합이 없는 경우가 있다고 생각하시나요? 그런게 있다면 A,B,C중 어떤 문장인지 알려주시길 바랍니다.
14/11/27 00:29
해석적 연속의 자식 중에 가장 아름다운 것을 고르라면 오일러의 항등식, exp(-πi)+1=0 이 자격이 있지 않을까요.
삼각지수함수의 테일러 전개에서 허수지수함수가 정의되고, 복소수 정의역에서 삼각함수와 지수함수가 연결되는 과정이 참 아름답죠.
14/11/27 01:04
그리고 누군가가 말했죠. 수학의 본질은 그 자유로운 발상에 있다. 1+1 = 2 ≠ 0이라고 정의하는 자유, 1+1 = 2 = 0이라고 정의하는 자유, 그 자유를 가질 수 있도록 하는 것이 수학과 친해지는 방법이 아닐까요.
14/11/27 11:53
자유로운 발상이 중요하지만 결국 수학은 논리의 학문이라
새롭게 규정한 것도 논리체계가 맞아야 합니다. 위상수학경우 기존체계와 달리 넓이 길이 같은걸 무시해 버리지만 새로운 논리체계를 만들어 내고 있기 때문에 쓰이는거죠. 수학체계는 다른나라 사람은 물론 외계인조차 납득 가능하게 논리체계가 구축되어야 한다고 생각합니다.
14/11/27 13:18
집합론의 창시자 칸토어가 한 말 맞나요? 가물가물하네요
수학의 본질은 그 자유에 있다 단 무모순이어야 한다 이런 내용이었던 것으로 기억합니다
14/11/28 01:27
Quantum//
모든 소수들을 곱한 값이 무엇이냐 라는 질문이라면 무한으로 발산하기 때문에 알 수 없다. [인정합니다. 당연합니다. 아무런 이견도 없어요.] 그런데 말입니다. 모든 소수들을 곱한게 짝수인지 홀수인지를 묻는거라면 그 값이 발산하더라도 알 수 있다고 생각합니다. 모든 자연수의 집합을 2개로 나눠보죠. 짝수 / 홀수 임의의 자연수 n에 대해서 짝수는 2*n 홀수는 (2*n)+1 로 정의 됩니다. (1까지 포함하려면 빼야되지만 그냥 넘어가주세요..) 또 다른 집합으로 유클리드가 증명한 소수가 무한하다라는 증명법에서 발취해와서 모든 자연수를 소수와 합성수로 나눠보죠 소수 = 1과 자신만을 약수로 가지는수 합성수 = 임의의 소수의 곱으로 표현가능한 수 이제 소수로 구분된 집합에서 오름차순으로 하나씩 꺼내어 곱하는 착한 계산기가 있다고 쳐봅시다. 우주가 끝날때까지 계속 되던, 계산기의 메모리가 터지던, 그 값은 알 수 없습니다만. 결국 곱해해지는건 분수도 아니고, 무리수도 아니고, 유리수도 아니고 자연수안에 속하는 소수입니다. 그 값은 무한히 발산하기는 하지만, [모든 소수를 약수로 가지는] 발산하는 수 입니다. 결국 곱하는 과정을 무한번.. 하더라도, 이것이 합성수임을 부정할 수 있나요? 합성수는 위에 유클리드의 구분에 따라서 자연수입니다. 그리고 첫번째 가장 작은 소수가 2임으로 이 수는 2를 약수로 가지는 합성수입니다. 2를 약수로 가지는 수는 맨 위에 짝수, 홀수 구분에 의해서 짝수입니다. 무한대 자체가 수가 아니고 무한번 곱한다는 행위 자체도 말이 안된다는건 인정합니다. 하지만 [계속해서 곱해지는 건 소수] 라는 조건이 정해져있는데, 왜 짝수인지 홀수인지 알 수 없다라고 하시는지 모르겠습니다.
14/11/28 07:38
자연수가 아닙니다. 무한번 연산한다는 개념을 제대로 이해 못해서 이런 결과가 나오죠
1 1+1/4 1+1/4+1/9 1+1/4+1/9+1/16 자연수제곱의 역을 모두더한 이 결과는 무리수입니다. 파이제곱/6이죠. 저 결과는 수렴하고, 유리수끼리 무한히 더했는데 무리수가 나오네요? 유리수끼리 더하면 유리수가 나와야할텐데 말이죠.
14/11/28 07:57
다른 분들께// 질게의 논쟁이 여기서 이어지는 것이니, 맥락이 궁금하신 분은 질게의 글을 보시면 됩니다.
1. 유클리드의 짝수 홀수 구분은 유한곱으로 쓰여있을때 직용할수있는것이지 무한곱일때 적용할수 있는게 아닙니다. 유한일때 하던것을 무한에서도 거리낌없이 적용하시면서 당연하다고 말씀하시는데 그게 결코 당연하지 않습니다. 유한에 대한 이론을 무한에 적용할수 없다는 논증중 가장 유명한게 이미 몇몇분이 말씀해주신 유리수의 극한이 무리수 논증입니다. 사실 이 증명만 잘 음미해도 무한의 위험성을 느끼실수 있을겁니다. 2 . 제가 질게에서 말씀드렸던 무한곱을 숫자로 인정하면 x<y, y>x 가 동시에 만족하지 않는다 라는 증명도 모든 자연수에서 성립하는 성질이 무한에서는 성립하지 않는다는 대표적인 예입니다. 노파심에 말씀드리는데, 혹시나 아직까지 이해하지 못하신다면 꼭 다시한번 보시기 바랍니다. 굉장히 중요한 논증입니다. 3. 무한곱이 숫자가 만족하는 성질을 가지고 있지 않는데는 동의하지만 무한곱의 짝/홀의 개념을 정의하겠다! 그게 왜 문제냐 기존의 "수"에 정의된 개념의 확장 아니냐? 적어도 짝무한곱, 홀무한곱이 단지 이름붙인게 아니라면, 최소한의 성질을 만족해야합니다. 말씀하신 방법으로 무한곱의 짝홀을 정의하면 문제점이 유발됩니다. 무한곱의 짝수홀수를 구별하기 위해 2를 소인수로 가지느냐 여부로 가리자라고 말씀하셨는데, 좋습니다. 그런 아이디어가 문제가 없는지 살펴봅시다. 일단 소인수가 있느냐로 구별한다했으니 그 이전에 소인수 분해가 가능할지 살펴봐야겠죠. 1) 숫자가 아니라는데에는 동의하셨으니 다른 사칙연산은 못한다 치더라도, 최소한 곱하기 라는 연산이 잘 정의되어있어야할겁니다. 소인수분해가 곱으로 쓰는건데 곱하기조차 안된다면 소인수분해를 못합니다. 2) 게다가 곱하기 연산이 있더라도 소인수 분해가 안되는 경우가 많습니다. 이를테면 실수는 곱하기연산이 있어도 소인수 분해가 안되죠. 소인수분해가 가능한 연산이라는것을 밝혀야합니다. 3) 소인수 분해가 되어도 소인수분해가 유일한 방법으로 가능하다는 증명이 있어야합니다. 예를들어 행렬곱같은 경우에는 설사 정수항을 가지는 행렬이라 하더라도 소인수분해꼴로 쓰면 그 형태가 유일하지 않습니다. 정수행렬곱, 정수다항식의 곱등, 소인수분해가 가능하더라도 유일하지 않는 경우가 오히려 더 많으며, 유일한 소인수 분해를 가진다 라는건 정수의 아주 중요한 성질입니다. 예를들어 소인수 분해 할때마다 누구는 2가 두번나오고 누구는 2가 세번나오고 이런식이라면 2의 갯수로 짝수홀수를 가릴수 없을테니까요. 검토하기 전에 한가지 묻고 싶네요. 말씀하신 정의에 따르면 모든 자연수의 무한곱은 짝무한곱인가요 홀무한곱인가요?
14/11/28 08:14
검토하기 전에 한가지 묻고 싶네요.
말씀하신 정의에 따르면 모든 자연수의 무한곱은 짝무한곱인가요 홀무한곱인가요? 모든 자연수를 곱한값이 홀수인지 짝수인지인가요? 그 값은 발산하겠지만 짝수죠. 1) 소수를 곱했는데, 소인수 분해가 안된다는건 무슨 소리세요.. 무한번 곱하다 보니 계산기 누르는 수학의 신의 손가락이 엇나가서 곱하기 대신 나누기라도 누르나보죠? 2) 자연수 이야기 하는데 왜 실수, 유리수, 무리수 이야기가 나오나요? 자연수 안에서 답을 찾아야죠. 3) 곱하는게 소수.. 에요. 소인수분해 하게 되면 모든 소수를 약수로 단 1개만 가집니다. 무한으로 곱해나가는 식 자체가 소인수분해가 되어있는 식이에요. 문제가 2^k*3^k*5^k........ 2를 무한번, 3을 무한번 5를 무한번 곱한값을 묻는게 아니에요.
14/11/28 09:17
겨울삼각형이 학교에서 가르치는 수학과 다른 정의를 사용하시기 때문에 의미를 분명히 알기 위해 물어봤습니다.
제가 겨울삼각형님의 법칙을 이해한게 맞다면, (1). 홀수의 무한곱은 홀수일것이고 (2). 짝수의 무한곱은 짝수일겁니다. (3). 짝수를 더하면 항상 짝수가 나와야할것입니다. 주장: 모든홀수들의 곱은 짝수이다. 증명: 1x3x5x7x...= 1x(2+1)x(4+1)x(6+1)... 무한곱에 자연수의 분배법칙을 적용하면 = 1x2x4x6x8x + 1x1x4x6x8x + 1x2x1x6x8x + 1x1x1x6x8. + .... 각 항은 짝수들로만 무한히 곱한것이므로 모두 짝수이며 (2) 그러한 짝수들을 합으로 쓰여진것이니 그 결과물도 짝수여야할것입니다.( 3) 증명끝. 좌변은 홀수들의 무한곱이고 (1)에 의하여 그것은 홀수입니다. 홀수=짝수가 나왔는데 왜그럴까요? 부디 겨울삼각형님이 정하신 무한곱의 짝홀 정의 방법에 뭔가 문제가 있다고 느껴졌으면 합니다. 사실 무한에 관한 직관에 위배되는 결과를 주는 이런 유사한 논증들은 수론이고 기하학이고 할거없이 수학전반에걸쳐 산더미처럼 많습니다. 실제로 17,18세기즈음에는 겨울삼각형님처럼 무한에 대하여 쉽게 생각하고 논리를 전개한 수학논문들도 수없이 많이 있고요. 19세기 다가와서 인류가 무한의개념을 조심스럽게 잘 다루는 법을 깨닫게 된 이후는 전부 폐기처분되었지만요. 그런 의미에서 오일러는 무한에 대하여 대단한 직관을 갖춘 인물입니다. 대부분 그당시의 결과물들중 잘못된 논증으로 결과값또한 잘못된 것들이 태반입니다만 오일러가 제시한 무한급수의 기묘한 증명들은 현대수학의 관점에서 잘못된 논증일지라도 결국 계산값들은 전부 맞는 값으로 인정되었습니다. 현대수학의 발전에 힘입어, 오일러의 천재적인 직관을 갖추지 못한 저같은 범인도 무한이 개입된 논증을 어렵지 않게 할수있게 되었지만, 오일러시대에살았다면 아마 저도 잘못된 논문들을 양산하고 있었을겁니다.
14/11/28 09:30
모든 홀수의 곱
위 증명의 (3)에서 틀리다는걸 보여드리죠. 1*(2+1)*(4+1).....(2n+1).... 죽죽죽 각 풀어쓴 항은 짝수이며, 모든 짝수들의 합이라고 퉁.. 치고 싶으시겠지만, 잠시만요 가장마지막항은 1에 무한이 1을 곱한값인데요?(마지막은 없겠지만) 즉 1 짝수 +1 = 홀수 입니다. 모든 홀수의 곱은 짝수이다 는 틀렸는데요?
14/11/28 09:48
좋은 지적입니다.
근데 말씀하신내용을 잘 보세요 본인스스로도 마지막항이 없다고 말씀하셨죠 그런데 어떻게 그걸 1이라고 하죠? 없다는것과 1이라는게 양립가능한가요?
14/11/28 10:08
여기 분수
2/3 가 있습니다. 분자에 임의의 자연수 k를 무한번 곱하고, 역시 분모에 k를 무한번 곱합니다. 그 값은? 2*k^n / 3*k^n (k,n은 자연수, n은 무한대) 님은 분자도 k를 무한히 곱하니까 수가 아니고, 분모도 k를 무한히 곱하니까 수가 아니므로 이건 분수가 아니다. 맞나요?
14/11/28 10:18
당연하죠. 그 자체는 숫자가 아닙니다. 분수도 무리수도 당연히 숫자조차 아니죠.
그 자체는 숫자가 아니지만 무한대로 갈때의 양상은 운이 좋을때 숫자로 표기할수있습니다. 그런 수학적인 과정을 극한을 취한다라고 말하며 결과로 얻어진 숫자를 극한값이라고 부릅니다. 무한대가 들어간 식과 그것의 극한값을 혼돈하시는것같아 첨언하였습니다.
14/11/28 10:31
지금 분자 분모 같은 수를 곱해나가고 있는데,
그 극한값이든 무한값이든 무슨 소용이죠. 분자 분모에 같은 수를 곱하는 순간 약분되는데?
14/11/28 10:38
겨울삼각형 님// 곱하는 순간 약분해도 된다는건 숫자에서나 그런거죠. 약분을 먼저해도되는건 유한연산일경우 순서에 상관없기 때문입니다.
무한히 곱할때는 약분같은거 함부로 취급하면 큰일납니다. 그때는 약분을 하는 순서를 바꾸는 작업으로 온갖 모순이 양산됩니다.
14/11/28 10:12
1을 무한히 더하면 자연수이다.
이문제 참인지 거짓인지부터 확실히 하고 넘어가야할것 같습니다. 제 논증은 자연수를 규정짓는 성질을 만족하지 않으므로 자연수라 부를수 없다 입니다. 모든 자연수 n가 만족하는 중요한 성질이 n+1과 n는 다르다 입니다. ( 잠깐 첨언 하자면 페아노 산술공리의 핵심성질이며 사실상 n+1과 n는 다르다 이 성질로부터 자연수의 모든 연산 법칙 덧셈 곱셈 소인수분해등이 연역적으로 증명됩니다. 자연수의 가장 중요한 성질이고 이게 안되면 자연수의 연산법칙 이를테면 덧셈이 참이라는 증명조차 실패합니다. ) 1을무한번더한걸 x라고 합시다. 뭔진몰라도 자연수인지 판별하기위해 x+1과 x가 다른지 봅시다. x = 1+1+1+.... = 1+(1+1+...)=1+x 자, x=x+1이 나왔는데 x를 자연수라고 할수 있을까요?
14/11/28 10:29
님 아래 쓴거 그대로 써서 교수님 보여주세요.... 이건 초등학생이 봐도 틀린걸 압니다.
님이야 말로 무한대를 잘못 이해하고 계신데요?
14/11/28 10:43
틀렀다고 생각되는 부분이 있으면 그 부분을 지적해 주셨으면 합니다.
제가 써왔던 댓글을 보시면 알겠지만 가급적 다른 참고자료 없이도 제 말자체로 이해할수 있게 모순을 논증하려고 노력하고 있습니다.
14/11/28 10:55
x= (시그마 n-> 무한대) 1+
x 를 풀어써서 1+x 에 등호 표시를 하셨는데, 등호 표시 하면 안됩니다.... 이 식은 임의의 자연수 n 값을 대입해보면 바로 틀립니다. 무슨 [근거]로 등호 표시 하신거죠? 1+ 가 무한대로 증식하니까 1+ 든 1+1+든 같은거다라는 건 넌센스죠.
14/11/28 11:18
끼어들어서 죄송합니다만..
말씀하신대로 자연수값을 대입하면 틀립니다. 따라서 x가 자연수가 아닙니다. 무한히 많은 1의 덧셈에 1을 한 개 추가로 더한다고 그 값이 달라지지는 않습니다. 무한대의 중요한 성질중에 하나인데요. 따라서 x+1=x 라고 쓸 수 있고, 이러한 성질을 갖는 자연수는 존재하지 않으므로 x는 자연수가 아닙니다.
14/11/28 11:22
그래프로 그려보면 바로 틀린데요..
y=x 와 y=x+1 그래프를 그려서 서로 크기 비교해보세요 x가 무한대로 가더라도 이 두 그래프는 만나지 않습니다.
14/11/28 11:29
그래프는 x축이 실수인 상황이겠죠
같은 실수 x값에서 비교를 하면 당연히 그렇지요. x<x+1은 실수가 갖는 성질이니까요. lim(x) = lim(x+1) =무한대 인건 맞지 않나요? 1+1+1+... 에서 앞의 1을 하나 따로 떼어서 1+(1+1+1+...)해도 같다는걸 잘 생각해보세요. 1이 무한히 많습니다. 어딘가에서 끝나는게 아니구요.
14/11/28 18:10
그래프가 다르다고 쉽게 말씀하시지 말았으면 합니다.
무엇보다도 자연수와 그래프는 논리적으로 전혀 다른 대상입니다. 어떤 상관관계가 있는지 먼저 분명히 해둔 이후에야 그래프를 통하여 자연수에 관한 논증을 하는게 유효하겠죠. 또한, 극한개념이나 실수나 함수의 그래프에 관한건 원하시면 필요할때 차근차근 말씀드리겠습니다. 자연수에 관한 성질을 이야기할때 유리수를 꺼내는것조차 꺼려하시는 분이라 수직선이나 그래프같은 개념은 일단 사용하지 않고 그 자체로 모순을 끌어내는 방법으로 설명드리고 싶네요. 실수가 수직선상의 점에 대응된다는것도 당연하거나 쉬운개념이 아니고 상당히 근대들어서 발견된 어찌보면 아주 뜻밖의 현상입니다. 또한 수직선 개념이 자연수를 무한히 합하면 숫자가 될수없다는 증명에 쓰이기도 합니다.
14/11/28 18:00
1.
x=1+x 에서 등호표시하면 안된다고 하셨는데 무턱대고 안된다고 하지 마시고 어떤 규칙에 의거하여 그러한지 알려주세요. 교과과정상 시그마는 단지 덧셈에 대한 다른 표기법에 불과합니다. 1+2+3+... n 이라고 쓰던 시그마_{k=1 to n} k 라고 쓰던 수학적으로 완전히 동일합니다. 혹시 시그마가 고등학교수학에서 다루지 않는것이나 다른 의미라면 어떤 의미인지 알려주셨으면 합니다. 2. 겨울 삼각형님의 주장: 1+1+1... 이가 자연수 중에 하나이다. 자연수중에 하나라면 겨울삼각형님이 생각하시는 자연수를 모아놓은 집합의 원소라는 뜻이겠죠? 그렇다면 2+1+1+1+... 도 그 집합의 원소인가요? 1+2+1+1+1.. 은 어떤가요? 둘은 숫자로써 다른가요 같은가요 더할수있나요? 같은지 다른지 비교할수도 있고, 연산도 할수 있다고 생각하신다면, 그 규칙을 알려주셨으면 합니다. . 같은지 다른지 비교할수도 없고 연산도 할수없다면 그 것은 보편적으로 우리가 자연수라고 부르는 대상이 아니라는 뜻이고요.
14/11/28 02:49
겨울삼각형님 // 제가 새로운 계산기를 가져왔습니다
이 계산기는 3+0.1+0.04+0.001+0.0005+0.00009+0.000002+... 를 계산합니다 계속하여 더할수록 원주율 파이에 수렴합니다 그런데 분명 한번 더해도 두번 더해도 계속하여 유리수인데 무한히 더해지면 유리수일까요? 분명 유리수만 더했는데도 결과는 유리수가 아니죠 본 문제도 짝수에다가 계속하여 정수를 곱하고 있습니다 그런데 무한히 곱하기 때문에 유한번 곱했을 때의 성질을 무한번 곱하는 상황에도 적용할 수 없는거죠
14/11/28 08:01
자꾸 유리수 이야기가 나오는지 모르겠네요.
unsigned int 끼리 연산결과가 overflow 되지 않는한 unsigned int 입니다. 자연수라는 집합 자체가 +1을 무한히 연산하면서 나오는 연산결과와 [결론적으로] 같습니다. 위 소수의 무한곱은 자연수가 아니지만 +1을 무한이 하는 결과는 자연수라는것 인가요?
14/11/28 08:25
위 소수의 무한곱은 자연수가 아니고
+1을 무한이 하는 결과도 자연수가 아닙니다. 말씀하시는 문맥을 볼때 무한덧셈이든 무한곱이든 무한이 들어가면 숫자가 아니다라는 것을 이해하고 계신것 같지 않습니다. 무한곱의 짝홀을 따지기 이전에 그걸 숫자로 취급할수있는지 여부부터 확실히 해야할것 같네요.
14/11/28 09:12
이러니까 그만하자고 한겁니다.
숫자가 아니다 라고 하시는거면 더 이상 이야기 해봐야 무쓸모입니다. 곱해지는게 유리수도 허수도 아니고 자연수 중에 소수 라는 특성을 가지는 수를 곱하고 있는데 이게 수인지 아닌지 따지고 계시는거잖아요? 초등 고학년정도만 되어도, 자연수 안에서 덧셈과 곱셈이 닫혀있다 라는것을 배웁니다. +1을 무한이 하는 결과도 자연수가 아니라고 하시니, 더 이상 이야기 해봐야 서로 다른 방향을 보고 이야기 하고 있습니다.
14/11/28 09:29
유한번 더한거와 무한히 더한것은 완전히 다른 대상입니다.
여전히 +1을 무한히 더한 결과가 자연수라고 생각하시는것이 조금은 안타깝습니다. 제가 답변이 조금 느릴수는 있지만 포기하시진 말았으면 합니다. 교과과정상에 배우는 덧셈에 닫혀있다는말이 무한히 더한 덧셈에 닫혀있다는 말이 아닙니다. 학교에서 유리수가 덧셈에 대하여 닫혀있다고 배우는데 어찌된것일까요? 말씀하신 논리대로라면 초등학교 고학년만 되어도 유리수는 덧셈에 닫혀있다고 배우는데, 유리수의 무한덧셈 또한 유리수여야하겠죠. 자연수는 덧셈에 닫혀있으니 자연수의 무한덧셈은 자연수여야만 한다. 유리수는 덧셈에 닫혀있으니 유리수의 무한덧셈은 유리수여야만 한다. 둘다 잘못된 명제입니다. 여러사람이 유리수이야기를 꺼내는 이유는 자꾸 반복하고 계시는 논리적 실수와 동일한 오류를 자연수에서보다 유리수에서 더 쉽게 볼수있기 때문입니다.
14/11/28 09:34
그러니까 그런 유리수에 대해서 예외사항이 나오는걸 모아놓은게 무리수죠.
제가 언제 모든 [수]에 적용된다고 했나요? 자연수, 그 중에서 소수만 따로 이야가 하고 있는데.. 왜 자꾸 확장하시는지 모르겠네요?
14/11/28 09:55
겨울삼각형님의 정하신 수학법칙이 모순됨을 밝히기 위한 당연한 작업입니다.
만약 기존의 수학법칙과 무관하게 소수들의 무한곱에 짝수라는 이름표를 붙이는것뿐 그 이상도 이하도 아니라고 하시면 그건 괜찮습니다. 이름붙이는것자체는 모순이 있을수 없으니까요. 하지만 그것이 수학의 일부라고 말하려면 어떤 성질이나 법칙을 가지고 있는지 말해야하고 무한곱의 짝수홀수라면 기존의 짝수홀수 개념과 무슨 관련이 있는지 밝혀야 겠죠. 하지만 겨울삼각형님과는 1을 무한히 더한것이 자연수가 아니다 란 논증부터 하는게 순서일것 같습니다.
14/11/28 09:40
초등 고학년정도만 되어도, 자연수 안에서 덧셈과 곱셈이 닫혀있다 라는것을 배웁니다.
유리수 안에서 덧셈과 곱셈이 닫혀있다는 것은 안배우셨나요?? 그런데 왜 유리수를 무한이 더했는데 무리수가 나올까요? 다른 방향이 아니라 틀린 방향을 보고 있습니다. 유리수의 무한합은 무리수가 될수 있는 이야기는 님의 주장에 훌륭한 반례이지요. 극한,무한,명제,증명 등에 관한 고등학교 교육과정을 제대로 이해하지 못했기 때문에 이런 오류가 나오지요. 쓰고보니 quantum님 댓글과 같은소리네요. 관점의 차이가 아닙니다. 그냥 님이 틀린겁니다.
14/11/28 09:59
남자들 이야기 하는데 불쑥 여자가 들어온것과 같은 느낌을 받는군요.
수체계가 훌륭한 수학자들의 노력으로 확장되어온건 저도 압니다. 하지만 자연수를 가지고 이야기 하는데, 자꾸 무리수를 가지고 제가 핵노답이라고 하시는건가.. 그냥 제가 멍청하다는것으로 정리 하죠.
14/11/28 10:04
+1을 무한히 하면 자연수가 되지 않는다는 의미로 무리수를 이야기했지요.
닫혀있다는 개념에 대한 이해를 잘못 적용하셨기 때문에 유리수를 이야기한겁니다. 자연수는 덧셈에 대해 닫혀있으므로 자연수를 무한히 더하면 자연수가 된다는 전제가 틀렸다는겁니다. 확장된 수체계에 관해 말하고 있는게 아닙니다. 자세한 내용은 quantum님께서 말해수실테니 불쑥들어온 저는 빠지도록 하지요.
14/11/28 10:26
겨울삼각형님이 멍청하다고 생각했으면 굳이 이렇게 힘들게 설명하려고 애쓰지 않았을겁니다.
앞서 말씀드린 x < y 와 y<x가 동시에 만족하므로 모순이라는 논증을 꼭 이해하시길 바랍니다. 거기에는 무리수 유리수이야기도 전혀 없지 않습니까? 혹시 미심쩍은 부분이 있다면 주저말고 지적하셔도 좋습니다.
14/11/29 00:20
연산을 유한번 해서 닫혀 있다고 해서
무한번 연산해도 닫혀 있다의 반례는 매우 다양한 형태로 있습니다 자연수를 유한번 더해서 자연수니까 무한번 더해도 자연수다라고 주장하시려면 겨울님이 증명하셔야 하는겁니다
14/11/28 09:46
무한대는 참 재미있는 것 같아요.
참 신기하고 어렵습니다.(확실히 고등학교 수학의 개념과 대학교 수학과 정규 과정의 수학의 개념은 많이 다르네요. 고등학교때 기계적으로 외웠던 limit의 정의를 대학교 가면 다시 배우죠.)
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