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14/11/26 14:15
개인적으로는 무조건 짝수일것같은데 왠지 저보다 잘아시는 분들이 알수없다고 해서 답은 2번이겠더라고요. 물론 저는 이해가 안됩니다 크크 2xn(n은 모든자연수)라면 2n은 무조건 짝수로 봐야되지 않을까?
라는 짧은 의견밖엔..
14/11/26 14:22
짝수의 정의는 n이 정수일 때 n=2k를 만족하는 정수k의 존재이고, 모든 소수의 곱은 정수가 아니라 '양으로 발산' 입니다. 발산은 정수가 아니고 따라서 짝수가 아닙니다.
14/11/26 14:30
짝수의 정의에 들어가지 않으니까 짝수가 아닌 겁니다. 모든 소수의 곱은 수가 아니에요. 말장난이 아니라 깔끔하고 명확해요. 2n인데 여기서 n이 발산하면 애초에 2n은 수조차 아닙니다.
14/11/26 14:26
모든 짝수는 정수여야 하는데, 무한히 발산하는 값은 정수가 아니므로 짝수일 수가 없습니다.
2n 꼴로 표시되는게 짝수인데, 여기서 n은 정수여야 하는게 조건이죠. 모든 값이 2n 꼴로 표시된다고 짝수면 단순히 n에 정수가 아닌값 넣으면 짝수가 성립이 안되죠. (ex. n=1.5)
14/11/26 14:51
그 글 댓글에서 https://pgrer.net/?b=10&n=225681&c=2860073 이분 이야기가 옳다면 짝수가 답이라고 생각합니다.
아무리 무한의 개념이 일반적으로 생각하는 개념과 차이가 있다고 해도 그 글에서 해답이라고 한 식은 이상하거든요. 게다가 '=' 기호의 정의조차 일반적으로 쓰는 것과 다르고요. 0을 무한이 곱해보아야 0이고, 1을 무한히 곱해봐야 1인 것처럼 2에 홀수(소수는 2을 제외하면 모두 홀수)를 아무리 곱해봐야 2n꼴의 정수이므로 짝수일 수밖에 없죠.
14/11/26 15:03
1. 수학에서 맞다 틀리다를 말하려면 용어나 규칙을 잘 정의해서 그에 위배되는지를 봐야합니다.
2. 고등학교 혹은 대학교 학부과정의 수학에 비추어서는 판단하자면 모두다 곱한것은 숫자조차 아닙니다. 돌맹이놓고 짝수냐 홀수냐 묻는것과 다를바 없어요. 3. 하지만 수학에서는 필요하다면, 새롭게 정의하는것은 자유롭죠. 무한히 많은 자연수의 곱이 짝수냐 홀수냐를 정해주는 방법을 정의하면 됩니다. 이를테면 몇몇분들이 말하는것처럼 정수의 무한곱에 짝수가 한개라도 있으면 그것을 even infinite 전부 홀수라면 odd infinite 라고 정의하겠다! 라고 해도 상관없습니다. 현재 교육과정에는 전혀 없지만, 정의자체는 어떤 수학자도 문제삼지 않을겁니다. 다만 그런 정의가 수학적으로 유용한 쓰임- 이를테면 미해결 난제를 푸는데 도움이 된다던가...- 이 있어야 할것이며, 또한 다른 수학적 결과들과 모순을 일으키지 않아야 하겠죠. 제가 엇뜻 생각하기에 일단 그러한 even/odd infinite 의 정의자체는 모순을 일으킬것 같지는 않습니다만 별 쓰임이 있어보이진 않습니다. 4. 맥락에 따라 다양한 정의방법을 쓸수 있겠습니다만, 혼자만의 정의가 아니라 의미가 있으려면 남들이 동의를 해주어야합니다. 인류가 이미 알고 있는 수학적 결과들에 위배되지 않도록 계산하는 방법을 잘 확장하면, 모든 소수의 곱도 숫자가 되도록 정의할수 있는데, 그렇게 하면 유게에 나온 pi가 들어간 무리수가 맞습니다. 또한, 놀랍게도 그런 이상한 계산법이 수학이든 물리에든 어려운 난제를 해결하는데 큰 도움을 줍니다. 5. 아, 참 그리고, Analytic continuation - 저는 해석적 연속 이라는 표현보다 해석적 확장혹은 연장 이라는 번역이 더 정확하다고 봅니다- 은 현대수학에서 가장 중요한 개념중에 하나입니다. 원래 정의할수없더라도, analytic 하도록 확장해서 값을 잘 정의할수 있으면 대부분의 경우 수학자들이 아주 기뻐하는 상황입니다. 정말 문제는 해석적으로 확장하기 곤란한 분석하기 아주 복잡한 특이점이 있는 경우입니다. 아.. 참고로 저는 수학 논문써서 밥벌어먹고 사는 사람입니다.
14/11/26 16:15
댓글 감사합니다
친구가 퀀텀님 댓글보고 자기가 Even infinte를 정의했다고 모든 소수의 곱은 짝수라는데 그럼 이게 맞다고 볼 수도 있는건가요?
14/11/26 16:22
아니요. even infinite을 정의했으니 even infinite이라고 불러야 하지 짝수라고 부르면 안되죠.
친구보고 개소리 짓껄이지 말고 돈이나 내놓으라고 하세요.
14/11/26 15:30
저도 수학 논문써서 밥벌어먹고 사는 사람입니다만...
중요한 얘기는 위에 Quantum님이 다 해주셨지만, 어차피 비전공자들한테 이런 얘기해봤자 못 알아먹을꺼 뻔하고요. 일반인 알아먹을 수 있도록 일반상식으로 얘기하자면 애초에 수가 아니니까 짝수 홀수 얘기할 수도 없습니다. 그리고 지극히 제 개인적인 생각입니다만, 솔직히 이게 왜 논란이 되는지도 이해할 수 없네요. 고등학교까지만이라도 제대로 나온 사람이라면 답을 모를 수가 없습니다. 정말 답이 헷갈린다면 고등학교 때 공부 제대로 안 한 사람이죠.
14/11/26 15:52
코딩으로 밥벌어먹던 사람으로서..
이 문제가 짝수가 아니라는게 수학계의 일반적인 시각이라면 멘붕올거 같네요.... 고등수학에서 짝수 : 2로나누어떨어지는 정수 소수 : 약수가 1과 자기자신만 가지는 정수 (2를 제외한 모든 소수의 곱) 에 2를 곱한 한것이 2로 나누어 떨어진다는건 위 2개의 공리만으로도 증명된다고 생각합니다. 이게 아니라는건 고등수학의 모든 수학적 귀납법도 성립못합니다.
14/11/26 16:46
[모든 자연수 n 에대하여 n번째소수까지 다곱한것이 짝수이다. ]
요기까지가 수학적 귀납법으로 증명가능한 부분입니다.. 하지만 그게 [모두다 곱한것이 짝수이다]라는것을 의미하지 않습니다. [모든 자연수 n에대하여 n번째 소수까지 다 곱한것은 자연수이다.] 가 수학적귀납법으로 증명 쉽게 증명되지만 그렇다고, [모두다 곱한것이 자연수이다]. 라고 말할수 없는것과 마찬가지입니다.
14/11/26 18:06
수학적 귀납법이라는게..
N 까지 참임을 증명 N+1 도 참임을 증명 하면, N-> 무한대로 가는것도 참임을 인정하는거 아닌가요? 수학적 귀납법 [주어진 명제 P(n)이 모든 자연수에 대하여 성립함을 보이는 증명법이다] 계속해서 무한대는 그냥 [킹왕짱 큰 수]니까 셈할 수 없으셈 으로 퉁치시려는거 같아요. 모든 소수의 곱은 [킹왕짱 큰 수]임은 맞지만, 그 [킹왕짱 큰 수]도 결국은 소수로 나누어 떨어집니다. 왜냐면 그 [킹왕짱 큰 수]가 소수를 곱해서 표현하고 있으니까요. 마찬가지로 2로 나누어 떨어지니까 짝수라는 명제는 참입니다. 에초에 이 [킹왕짱 큰 수]가 자연수가 아니라는 주장이시라면 이건 [소수]의 공리를 정면으로 부정하는 겁니다...
14/11/26 18:21
수학적귀납법은 p(n)이라는 명제가 n이 자연수일 경우 성립함을 보이는 것입니다.
무한대는 자연수가 아니니까 성립을 안합니다. 예를 들어 n이 자연수일 때 1/n > 0 이다는 n이 자연수일 경우 모두 성립합니다만 n이 무한일 경우 1/n = 0 이지요.
14/11/26 18:32
무슨말씀이십니까...
2부터 모든 소수의 수열이 있다고 가정하고, n 번째 소수를 P(n)이라고 가정 P(1) = 2, P(2)=3, P(3)=5 ..........P(n)=대충 n 번째 소수 n번째 소수까지의 곱을 M(n) 이라고 가정 M(1)=P(1), M(2)=M(1)*P(2), M(3)=M(2)*P(3)......M(n) = M(n-1)*P(n) M(n)은 짝수인가? n=1 : 2니까짝수 n=x : M(x) = M(x-1)*P(x) => 요걸 끝까지 풀어 쓰면 M(x) = P(1)*P(2)* ....*P(x) 각 P(n)은 소수이고, M(x)/P(1) = P(2)*...*P(x) 이고 P(1)=2 이기 때문에, M(x)는 2로 나누어 떨어짐, n=x 일경우 짝수 n=x+1 일경우 M(x+1)=M(x)*P(x+1) 굳이 풀어 들여야 하나요? 역시 짝수 위 3가지 조건이 참임으로 모든 자연수 n에 대해서 M(n)은 짝수 이다 이게 수학적 귀납법입니다. n은 단지 각 수열을 나타내는 자연수이구요. 킹왕짱 크다는 M(n)이 무한대로 가던 여고생무한대로 가던 할아버지 무한대로 가던 짝수임을 증명할 수 있습니다. 이상 수알못입니다.
14/11/26 18:37
겨울삼각형님 말씀대로면 무리수도 유리수가 될 수 있네요?
예를 들어 파이=3.14159.....도 유리수네요. P(1)=3, P(2)=0.1, P(3)=0.04, P(4)=0.001, P(5)=0.0005, ............... P(n)은 파이의 소수 n-1번째자리의 수 M(1)=P(1), M(n)=M(n-1)+P(n) M(1)=3 유리수 M(2)=3.1 유리수 M(3)=3.14 유리수 M(4)=3.141 유리수 M(5)=3.1415 유리수 ...................... 결국 파이는 유리수네요? 엄청난 발견하셨는데 논문 한편 쓰시죠? 킄킄
14/11/26 19:51
일단 임의의 자연수 n일 경우, M(n)이 유리수임을 증명을 하셔야죠??
그냥 단순하게 n=1. n=2, n=3 몇개 쓰지마시고..
14/11/26 21:56
겨울삼각형 님// M(n)이 유리수임은 자명한데요;
각각의 p(k)들이 자연수고 p(1)+...p(n)은 finite한 유리수의 합인데요. 증명을 할것도 없죠. 솔직하게 본인이 틀린걸 인정할 줄 아는 자세도 필요해 보입니다.
14/11/26 19:54
M(1)은 일단 유리수
n=x일때 M(x)가 유리수임을 가정하면, n=x+1일때 M(x+1)=M(x)+P(x+1)인데 M(x)랑 P(x+1) 모두 유리수이고 유리수+유리수=유리수이므로 M(x+1)는 유리수. 따라서 임의의 자연수 n일 경우, M(n)이 유리수네요?
14/11/26 20:18
컴공에서는 수학적인 엄밀함을 그렇게까지 요구하지는 않기 때문이 아닐까요.
저도 예전에 '모든 n'과 '무한히 많은 n'의 차이를 몰라서 멘붕했던 기억이 있네요.
14/11/26 23:50
별 일도 아닌데, 너무 흥분 하셨네요.
저도 코딩으로 밥 벌어 먹는 사람입니다만, 겨울삼각형님 말씀이 잘 못된건 알아요. 프로그래머 어쩌고 하는 댓글은 수정하심이 어떨지 싶습니다. 상당히 보기 거슬리네요.
14/11/26 18:42
1. [소수]의공리가 무슨 의미인가요? 이상황에 적당한 뜻이 잘 떠오르지 않습니다. 어디에 모순인지 좀 자세히 알려주셨으면 합니다.
2. 무한곱을 [킹왕짱큰수]라고 정의하셔도 상관없어요 근데 그걸 자연수중 한가지 종류라고 부르려면 자연수가 가지는 성질을 가지고 있어야겠죠. 하지만 자연수에서는 모순없이 성립하는 대부분의 연산법칙이 [킹왕짱큰수]에서는 모순을 만들어냅니다.
14/11/26 21:41
1. 소수의 정의를 말씀하셨고 그게 소수의 공리를 의미하시는것으로 이해하겠습니다. 제 말중에 소수의 공리에 정면으로 위배된다고 하셨는데 아직 그부분이 무엇인지 잘 모르겠습니다.
2. 정수x정수는 말씀해주신대로 정수가되죠. 하지만 지금 쟁점이 되는 상황은 그게 아니지 않습니까. 정수를 한번곱한게아니라 정수를 무한곱한 대상이 정수가 될것인가가 포인트입니다. 주장하시는것은 자유입니다만 보편적이지 않은 주장일경우 그이유를 이해못하는 사람들에게 그래도 되는 이유에 대하여 설명 혹은 증명이 필요하다고 생각합니다. 참고로 현행 교과과정상에서는 그렇게 하면 안된다고 가르친다고 알고있습니다. 3. 저는 무한곱한것이 정수라고 하면 안되는 한가지 이유를 들어보겠습니다. 무한곱수 즉 말씀하신 [킹왕짱큰수]는 정수라면 응당 가져야하는 대소비교 부등식이나 곱하기더하기등의 분배법칙이 전혀 성립하지 않습니다. 무한히곱한수에대한 계산법칙을 따로 억지로 만드실수는 있으나 기존에 우리가 정수들의 연산법과 동일하지 않다면 그런 대상들을 굳이 정수라고 부를 이유가 없을테지요. 아주 구체적인 위반사례를 한가지 들어보겠습니다. 이를테면 모든소수를 곱한수를 정수라고 하셧으니 x라고 하고 또 3보다큰 소수를 곱한수를 y라고 하죠. 기존에 알고있는 정수의 연산법칙을 이용하여 x가 y보다 크다고도증명 할수있고 반대로 y가 x보다 크다고도 증명할수있습니다. (힌트: x보다 y가 크다는건 쉽게 하실수있을것이고 y가 x가 크다는것은 말씀하신 수학적귀납법을 쓰시면됩니다) 보편적으로 사람들이 정수라고 불리우는 대상이 만족하는 특징에 위배하는데도 불구하고 정수중에 한가지가 되어야 한다고 누군가 주장하고 있다면 그 이유가 무엇인지 살펴봐야겠죠 한번 들어보고 싶습니다. 3.다시한번 말씀드리지만 A. 모든 자연수 n에 대하여 성립한다와 B. n이 무한대일때 성립한다. A와 B는 전혀 상관이 없는 명제입니다. 수학적 귀납법은 A에 대한 증명이지 B에대한 이야기가 아닙니다.
14/11/27 15:34
2에 대한 반론으로
곱셈의 결합법칙을 생각해보세요. a*b=x a*b*c= x*c 로 표현 할 수 있죠. 이걸 단순히 무한번 한다고 해서 정수가 아니라고 할 수 있다는 건가요? 3번 x = 2*3*y 로 표시 할 수 있는데 y가 x 보다 크다는걸 어떻게 증명하죠?
14/11/27 23:35
1. "단순히 무한번 한다고 해서 정수가 아니라고 할 수 있다는 건가요?"
쉽게 될것처럼 말씀하시지만 무한번 했을때 잘 안됩니다. 수학자들이 적어도 백년 이상은 무한대를 어떻게 다루어야 할지 고생속에서 허우적된 역사가 있죠. 2. x는 모든 소수를 곱한것, y는 3보다 큰 모든 소수를 곱한것 x=2*3*y 이므로 자연수의 성질에 의하며 x > y 는 자명 아래와 같이 x(n)과 y(n)을 정의하자. x(n) 은 n 번째 소수까지 곱한것 y(n)은 3보다 큰 소수들중 n 번째 소수까지 곱한것 예를들어 x(4) = 2x3x5x7 , y(4)= 5x7x11x13 lemma. 모든 n에 대하여 x(n)<y(n) 이 성립 proof. 수학적 귀납법. [겨울삼각형님이 사용하시는 증명법]에 의하면, 모든 n에서 성립하므로 x(n)<y(n)은 n이 무한대로 갈때도 성립 x,y,x(n),y(n)의 정의에 의하면 n이 무한대일때는 x(n)은 x가 되고 y(n)은 y가 되므로 x<y. x>y 도 성립하고 x<y 도 성립하므로 모순. 여러번 말씀드렸지만 다시한번 강조하는차원에서 반복하자면 모든 정수 n에서 참임을 증명할수 있는 명제 A(n) 이 있을때 n이 무한대로 갔을때조차 A(n)이 참이다 라고 하면 큰일납니다. 무한대가 되었을때 참일지 거짓일지는 명제 A(n)이 어떤 성격인지 자세히 살펴야만 답할수 있습니다. 많은 경우 정의조차 안되는 경우가 대부분이고요..
14/11/28 00:35
3번 제가 말한것과 아래 써주신것은 전혀 다른 이야기인데..
누가 봐도 x(4) = 2*3*y(4) 가 틀렸는데요? 님이 써주신거로는 죽어도 x(n)이 y(n)보다 커지지 못해요. 자꾸 무한번 곱하는것에 너무 연연하시는거 같은데.. 모든 자연수 n 에 대해서 2 * n 이 짝수임을 인정 못하시나요? (자연수 곱하기 자연수가 자연수가 아닐 수도 있다라고 하시는데, 그냥 자연수인지 모른다고만 하시지 마시고 반례든 증명이든.. 해줘야죠?) 2^n 도 짝수가 아니라고 하실거고요? 새로 써드린 2개는 산수로 간단하게 계산이 되니까 이건 짝수임을 인정하고 모든 소수의 곱은 계산이 안되니까 자연수가 아닐 수 도 있다? 모든 소수의 곱의 값을 풀기 위해서 계속 곱해지는건 분수도 아니고 유리수도 아니고 무리수도 아니고 소수입니다. 언제나.. 몇가지 더 증명법을 써드리죠. 2) 모든 2를 제외한 소수는 홀수입니다.(제가 어디서 인용했는지는 아시겠죠?) 홀수 * 홀수 = 홀수 홀수 *2 = 짝수 그러므로 모든 소수를 곱한 값은 계산하지는 못해도 짝수이다. 3) 2진수로 바꿔보죠. 2진수에서 짝수인지 홀수 인지 구분은 첫째자리가 1인지 0인지 확인하는것으로 구분할 수 있습니다. 비트 연산으로요. 2는 10 3은 11 5는 101 아무튼 기타등등 비트연산으로 첫번째 자리를 and 비교를 해보죠. 2는 0, 3은 1, 5는 1.... 사실 그 뒤에 나오는 모든 소수는 홀수 이기 때문에 1입니다만 굳이 증명이든 다시 쓰지 않더라도 and 비교에 첫번째 항목인 2가 이미 0입니다. and 비교할때 한가지만 0이면 값이 0입니다. 그러므로 0이겠죠? 어라 모든 소수를 곱한 값의 2진수로 첫번째 값은 0이 되었습니다. 그 다음 자리수요? 홀수, 짝수 구분하는데 필요한가요? 그러므로 짝수입니다.
14/11/28 00:51
겨울삼각형 님//
x(n) 은 n 번째 소수까지 곱한것 y(n)은 3보다 큰 소수들중 n 번째 소수까지 곱한것 y(n)의 정의에 따르면 3보다 큰 소수들중 n번째 소수라고 하였으므로 y(1)=5 y(2)=5x7 y(3)=5x7x11 이렇게 되도록 정의한것입니다. 제 표현이 명료하지 못했다면 사과드립니다. 제 정의에 따르면 x(4) = 2*3*y(4) 가 아니라 x(4) = 2*3*y(2) 라고 해야 합니다. 정의에 의해 x(n)<y(n) 이 성립한다는것을 자명합니다. 엄밀함을 원하면 수학적귀납법을 쓸수도 있지만 정의를 오해하시지 않으면 굳이 증명없이도 받아들일것으로 생각합니다. 다시 한번 제가 말씀드린 y>x 라는 논증을 잘 살펴봐 주셨으면 합니다. 너무 많은 이야기는 혼란만 가중되니, 일단 한걸음씩 나갔으면 합니다.
14/11/26 22:03
쭉 읽어보다보니 둘째문단 세번째가 문제네요. N->무한대로 가는것도 참임을 인정하는것이 아니라 모든 자연수 N에 대하여
인정하는것이죠. 자연수가 무한대를 포함하지 않는건 다른 많은 분들이 말씀해 주셨고요. 저도 댓글을 통해 많이 배워가네요 흐
14/11/26 15:57
카이스트 수학 전공자 한테 물어봤습니다. 물론 윗분처럼 논문정도 쓰는사람은 아니고, 그냥 학부만 졸업자입니다.
짝수는 어떤 자연수 내지 정수가 2로 나눈 나머지가 0이다. 를 만족해야 하는데, 그러면 어떤 것이 '자연수 내지 정수'이어야 하고 '2로 나눠'야 하며 '나머지'를 따질 수 있어야 하며 그 값이 0이어야 한다고 합니다. 그런데 그 숫자들을 다 곱하면 무한대(계속 커지는 중 - 이라고 일단 이해)'자연수 내지 정수'조차 아니기 때문에 짝수가 아니라고 하네요.
14/11/26 16:06
모든 곱이 일반적인 정수로 정의가 안됩니다. 엔하위키 무한대 항목에서 본 내용이 생각나네요.
"엘러건트 유니버스의 저자 가라사대, 무한대는 네 이론이 잘못됐다고 신이 내리는 회초리라고."
14/11/26 21:58
직관과 해답이 다른경우가 종종있지요.. 자연과학은 이렇게 증명하면 해결될 문제이지만, 사회과학도 자연과학처럼 전문가의 권위가 존중받았으면 한다는 생각이 이글보니 더 드네요..
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